Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang Bài 6. (7 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=\frac{{{x}^{3}}{{y}^{4}}{{z}^{3}}}{({{x}^{4}}+ {{y}^{4}}){{(xy+{{z}^{2}})}^{3}}}+\frac{{{y}^{3}}{ {z}^{4}}{{x}^{3}}}{({{y}^{4}}+{{z}^{4}}){{(yz+{{x} ^{2}})}^{3}}}+\frac{{{z}^{3}}{{x}^{4}}{{y}^{3}}}{( {{z}^{4}}+{{x}^{4}}){{(zx+{{y}^{2}})}^{3}}}$$ với $x,y,z$ là các số thực dương. |
Định hướng giải: Quan sát phân thức thứ nhất thấy ở tử số $z $ có bậc 3, ở mẫu $z $ có bậc 6. Như vậy phản xạ đầu tiên là khử hết $z $ bằng AM-GM.
Cụ thể
$z^2+xy \ge 2z \sqrt{xy} $.
Như vậy, phân thức đầu tiên chỉ còn $x,y $ không có $z $ nữa.
Sau khi đặt $\sqrt{x}=a;... $ cho gọn ta thấy bài toán sẽ được giải quyết nếu có
$\dfrac{a^3b^5}{a^8+b^8}+\dfrac{b^3c^5}{b^8+c^8}+ \dfrac{c^3a^5}{c^8+a^8} \le \dfrac{3}{2}. $
Đến đây, ta lại đặt ẩn phụ để đưa về 1 biến $x=\dfrac{a}{b};... $ ta cần chứng minh
$f(x)+f(y)+f(z) \le \dfrac{3}{2} $ với $x,y,z>0 $ thỏa mãn $xyz=1 $ trong đó $f(x)=\dfrac{x^3}{x^8+1} $.
Đến đây có 2 hướng làm:
Hướng 1: Sử dụng đánh giá dạng
$\dfrac{x^3}{x^8+1} \le \dfrac{3}{4} \dfrac{x^k+1}{x^{2k}+x^k+1} $.
Sau đó dùng bất đẳng thức Vasc.
Cách tìm $k $:
$\dfrac{-2}{4}=\dfrac{3x^2(x^8+1)-8x^7.x^3}{(x^8+1)^2}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{3k-3k.2}{9} $
Giải ra $k=2 $.
Hướng 2: Sử dụng đánh giá dạng
$\dfrac{x^3}{x^8+1} \le \dfrac{1}{2} + k \ln x $.
Sau đó nhân lại.
Cách tìm $k $:
$\dfrac{-2}{4}=\dfrac{3x^2(x^8+1)-8x^7.x^3}{(x^8+1)^2}=\dfrac{k}{x}=k $
Giải ra $k=\dfrac{-1}{2} $.
Ở hướng 1 thì $k=2 $ còn ở hướng 2 thì $k=\dfrac{-1}{2}. $
Hướng 1 được ngay, còn hướng 2 phải xét thêm trường hợp số lớn nhất lớn hơn $\dfrac{5}{2} $, chú ý không cần điều kiện gì thì $f(x) $ đã bị chặn trên. Trường hợp số lớn nhất lớn hơn $\dfrac{5}{2} $ cần đánh giá từng phân số rồi cộng lại.
Phụ lục: 1. (BĐT của Vasc)
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=35782 2. (Bài liên quan)
http://www.artofproblemsolving.com/F...19886#p1119886 Cụ thể: - Hướng 1: Tùng đã làm ở trên.
- Hướng 2: Giả sử $x \le y \le z $.
+) Nếu $z \le \dfrac{5}{2} $ thì $0<x,y,z \le \dfrac{5}{2} $. Khi đó, ta sẽ chứng minh
$f(x) \le \dfrac{1-\ln x}{2} $
Thật vậy, xét $h(x)=f(x)-\dfrac{1-\ln x}{2} $ với $0<x \le \dfrac{5}{2} $.
Vẽ bảng biến thiên ta có $h(x) \le \max \{f(1); f \left( \dfrac{5}{2} \right) \}=0 $.
Do đó
$f(x) \le \dfrac{1-\ln x}{2} $
.
Suy ra
$f(x)+f(y)+f(z) \le \dfrac{3}{2}. $
+) Nếu $z > \dfrac{5}{2} $ thì $x \le \sqrt{xy}=\dfrac{1}{\sqrt{z}}<\sqrt{\dfrac{2}{5}} $.
Khi đó $f(x) < \dfrac{1}{4} $ do $x < \sqrt{\dfrac{2}{5}} $.
Lại có $f(z) < \dfrac{1}{50} $ do $z>\dfrac{5}{2} $.
và $f(y) < \dfrac{3}{5} $ (theo AM-GM).
Do vậy
$f(x)+f(y)+f(z) < \dfrac{3}{2}. $
Bài toán được giải quyết.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]