Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

boheoga9999 · 19-03-2011, 04:17 PM

Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\
z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\
x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\
\end{array} \right
$
Mình giải thử bài 3 nha

Xét 2 trường hợp:
1. $x,y,z=0 $thỏa mãn nghiệm hệ. Vậy hệ có nghiệm $x=y=z=0 $
2. Nếu ít nhất 1 số khác 0,từ pt thứ 3 suy ra $x>0 $suy ra $y,z>0 $
Nhân cả 3 vế lại với nhau ta có: $\frac{8x^2y^2z^2}{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}=xyz $$\Leftrightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=8xyz $
Lại có $1+x^2\geq2x, 1+y^2\geq2y, 1+z^2\geq2z $ $\Rightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)\geq8xyz $
Dấu''='' xảy ra khi $x=y=z=1 $
Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0), (1;1;1) $

19-03-2011, 04:17 PM	#2
boheoga9999 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2010 Đến từ: Tp_HCM Bài gởi: 170 Thanks: 109 Thanked 60 Times in 32 Posts	Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\ z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\ x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\ \end{array} \right $ Mình giải thử bài 3 nha Xét 2 trường hợp: 1. $x,y,z=0 $thỏa mãn nghiệm hệ. Vậy hệ có nghiệm $x=y=z=0 $ 2. Nếu ít nhất 1 số khác 0,từ pt thứ 3 suy ra $x>0 $suy ra $y,z>0 $ Nhân cả 3 vế lại với nhau ta có: $\frac{8x^2y^2z^2}{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}=xyz $$\Leftrightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=8xyz $ Lại có $1+x^2\geq2x, 1+y^2\geq2y, 1+z^2\geq2z $ $\Rightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)\geq8xyz $ Dấu''='' xảy ra khi $x=y=z=1 $ Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0), (1;1;1) $ __________________ NOTHING IS IMPOSSIBLE