Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

**huynhcongbang** · 29-08-2010, 10:48 PM

Hihi! Mình xin nêu 1 cách ngắn gọn hơn, một số đánh giá cũng thực hiện tương tự:

Ta có:
$abcd \le (\frac{a+b+c+d}{4})^4=\frac{1}{256}\Rightarrow \frac{1}{abcd} \ge 256 $
$\sum ab=ab+bc+cd+da+ac+bd \le \frac{3}{8}(\sum a)^2=\frac{3}{8} $.
Suy ra:
$\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}+ \sum\frac{1}{4ab} \ge \frac{7^2}{\sum a^2 + 4. \sum ab}= \\\frac{49}{(\sum a)^2+ 2\sum ab} \ge \frac{{49}}{{1 + 2.\dfrac{3}{8}}} = 28 $.
Hơn nữa:
$ \sum\frac{1}{4ab}=\frac{\sum ab}{4abcd} \le \frac{3}{32abcd} $.
Ta có:
$P=\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{abc}=\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{abcd}=\\(\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{4ab})+(\frac{3}{32abcd}-\sum \frac{1}{4ab})+\frac{29}{32abcd} \ge 28+0+232=260 $.
Vậy GTNN cần tìm là 260, đạt được khi $a=b=c=d=\frac{1}{4} $.

29-08-2010, 10:48 PM	#140
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Hihi! Mình xin nêu 1 cách ngắn gọn hơn, một số đánh giá cũng thực hiện tương tự: Ta có: $abcd \le (\frac{a+b+c+d}{4})^4=\frac{1}{256}\Rightarrow \frac{1}{abcd} \ge 256 $ $\sum ab=ab+bc+cd+da+ac+bd \le \frac{3}{8}(\sum a)^2=\frac{3}{8} $. Suy ra: $\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}+ \sum\frac{1}{4ab} \ge \frac{7^2}{\sum a^2 + 4. \sum ab}= \\\frac{49}{(\sum a)^2+ 2\sum ab} \ge \frac{{49}}{{1 + 2.\dfrac{3}{8}}} = 28 $. Hơn nữa: $ \sum\frac{1}{4ab}=\frac{\sum ab}{4abcd} \le \frac{3}{32abcd} $. Ta có: $P=\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{abc}=\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{abcd}=\\(\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{4ab})+(\frac{3}{32abcd}-\sum \frac{1}{4ab})+\frac{29}{32abcd} \ge 28+0+232=260 $. Vậy GTNN cần tìm là 260, đạt được khi $a=b=c=d=\frac{1}{4} $.