Trích:
Nguyên văn bởi 123456  Cho $A=(a_{ij}) $ là ma trận cấp n, xét ma trận mũ $e^{tA} $ được định nghĩa bới
$e^{tA}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^nA^n}{n!} $
($e^{tA} $ là nghiệm của phương trình vi phân $f'(t)=Af(t); f(0)=I $ với f là hàm nhận giá trị ma trận). Giả sử $e^{tA}=(a_{t,ij}) $, chứng minh rằng:
$a_{t,ij}\geq 0 $ với mọi $i,j $ và mọi $t\geq 0 $ khi và chỉ khi $a_{ij}\geq 0 $ với mọi $i\not=j $ |
Giả sử $a_{t,ij}\geq 0 $ với mọi $t\geq 0, i,j $, do $a_{0,ij}=\delta_{ij} $, do đó $\frac{d a}{dt}(0,ij)\geq 0 $ với $i\not=j $.
Ngược lại, nếu $a_{ij}\geq 0 $ với mọi $i\not=j $, đặt $a=\min\{a_{ii}: 1\leq i\leq n\}, B=A-aI $ thì B có các phần tử không âm do đó $e^{tB}, t\geq 0 $ cũng vậy (do định nghĩa), do B và $aI $ giao hoán, do đó $e^{tA}=e^{tB+taI}=e^{ta}e^{tB} $, từ đây suy ra dpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]