[leviethai]

Nguyên văn bởi MathForLife

Bài toán này đã được anh Tạ Minh Hoằng (Minhhoang) giải trên MS 1 lần cách đây vài tháng. Mình xin trình bày lại lời giải:
Gọi $(x;y;z) $ là một hoán vị của $(a;b;c) $ sao cho $x\ge y\ge z $. Khi đó theo bất đẳng thức hoán vị ta có:

$a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\le x^3y^2+x^2yz^2+z^3y^2 $

do 2 dãy $x;y;z $ và $x^2y^2;z^2x^2;y^2z^2 $ đơn điệu cùng chiều.
Như vậy ta sẽ chứng minh:

$x^3y^2+yx^2z^2+z^3y^2\le 3 $

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$2x^3y^2\le y(x^4+x^2y^2) $
$2z^3y^2\le y(z^4+z^2y^2) $

Chỉ còn cần chứng minh:

$y(x^4+x^2y^2)+y(z^4+z^2y^2)+2yz^2x^2\le 6 $
$\Leftrightarrow y(x^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)\le 6 $
$\Leftrightarrow y(3-y^2)\le 2 $
(vì $x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2=3 $ )
$\Leftrightarrow (y-1)^2(y+2)\ge 0 $

Bất đằng thức cuối đúng cho ta đpcm. Đẳng thức chỉ có khi $x=y=z $ hay $a=b=c=1 $.

Bất đẳng thức mạnh hơn cũng đúng.

Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng

$(ab+bc+ca)(a^2b+b^2c+c^2a)\le 9. $

Và ta cũng có bất đẳng thức tổng quát hơn

Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3 $. Với $n\ge 2, $ chứng minh rằng

$a\sqrt[n]{ab}+b\sqrt[n]{bc}+c\sqrt[n]{ca}\le 3. $

============

Nguyên văn bởi extremeqx9770

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\[\begin{array}{l}
{({a^2} + {b^2} + {c^2})^2} \ge 3({a^3}b + {b^3}c + {c^3}a) \Leftrightarrow 2{({a^2} + {b^2} + {c^2})^2} - 6({a^3}b + {b^3}c + {c^3}a) \ge 0\\
\Leftrightarrow \sum {{{({a^2} - 2ab + bc - {c^2} + ca)}^2}} \ge 0
\end{array}\] $
Điều này hiển nhiên đúng. Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi $$a = b = c$ $ hoặc trong bộ 3 số sau và các hoán vị $\[(a,b,c) = k\left( {{{\sin }^2}\frac{{4\pi }}{7},{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7},{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}} \right)\] $
Bài này mình lấy từ cuốn “ Sáng tạo bất đẳng thức “ của anh Phạm Kim Hùng

Bài này có thể chứng minh được bằng Cauchy Schwarz.

============

Nguyên văn bởi lelouch96

$a^{n} + b^{n} \le a^{n+1} + b^{n+1} $ với $a + b\geq 2 $

chứng minh bằng qui nạp

Bài của bạn khá là "ẩu".

Không có điều kiện của $a,b,n $ thì làm kiểu gì đây bạn ? Đã vậy bạn cũng không biết hoa đầu câu, kết thúc bài mà không có lấy dấu chấm. Không có lấy một yêu cầu làm gì, mà độc nhất một câu: "chứng minh bằng quy nạp". Mình mạn phép xóa bài của bạn để bạn rút kinh nghiệm.

============

Nguyên văn bởi LiKE.NO.OTHER

Cho x,y,z dương thoả mãn xy+yz+zx=3.Chứng minh $\frac{1}{xyz}+\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)} \geq \frac{3}{2} $

Gợi ý Dùng AM-GM như sau

$\[\begin{aligned}
\frac{1}{{xyz}} + \frac{4}{{(x + y)(y + z)(z + x)}}& = \frac{1}{{2xyz}} + \frac{1}{{2xyz}} + \frac{4}{{(x + y)(y + z)(z + x)}}\\
&\ge \frac{1}{{2xyz}} + \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {xyz(x + y)(y + z)(z + x)} }}.
\end{aligned}\] $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]