Trích:
Nguyên văn bởi daitoancvp  Thêm một bài nữa:
Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:
$\[
(a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9 + 8.\frac{{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 }}{{(a + b + c)^2 }}
\]
$ |
BDT cần cm tương đương :
$\frac{(b-c)^2}{bc}+\frac{(c-a)^2}{ca}+
\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 8.\frac{{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 }}{{(a + b + c)^2 }} $
$\Leftrightarrow \sum{(b-c)^2(a(a+b+c)^2-8abc) \ge0 $
Không mất tính tổng quát giả sử $a \ge b\ge c $
Ta có:$S_b+S_a=(a+b)(a+b+c)^2-16abc \ge 4c(a+b)^2-16abc\ge0 $
$S_b+S_c=(b+c)(a+b+c)^2 -16abc \ge 4a(b+c)^2-16abc \ge0 $
$2S_b \ge S_b+S_c \ge0 \Rightarrow S_b \ge0 $
Suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]