Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Một số bài toán bất đẳng thức trong các đề chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO.

hoduckhanhgx · 03-03-2012, 09:56 PM

Ta có: $\ {\left[ {a + b + \sqrt {2\left( {a + c} \right)} } \right]^3} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {\sqrt {\dfrac{{a + c}}{2}} } \right) + \left( {\sqrt {\dfrac{{a + c}}{2}} } \right)} \right]^3} \ge \dfrac{{27}}{2}\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) $

Suy ra:

$\ \left[ {\sum {{{\left( {\dfrac{1}{{a + b + \sqrt {2\left( {a + c} \right)} }}} \right)}^3}} } \right] \le \sum\limits_{cyc} {\dfrac{2}{{27\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} = \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} $

Cần CM: $\ \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \dfrac{8}{9} $

$\ \Leftrightarrow 6\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge \left( {a + b + c} \right) $

Từ ĐK đề bài ta có: $\ ab + bc + ca \le 16abc\left( {a + b + c} \right) \le \dfrac{{16}}{3}{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} $
$\ \Rightarrow ab + bc + ca \ge \dfrac{3}{{16}} $

Vậy: $\ 9\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge \dfrac{3}{2}\left( {a + b + c} \right) $
$\ \Leftrightarrow 6\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge \left( {a + b + c} \right) $ Q.E.D
Sau đây là một bài cho các bạn luyện thi TST
Cho các số thực $ a, b, c \in \left[ \dfrac{1}{2}, 2 \right] $. Chứng minh rằng

$ 8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \ge 5 \left(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right)+9 $

Bài này có thể chứng minh bằng AM - GM:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 3 số ta có:

${x}^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3x}{4} $
${y}^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3y}{4} $
${z}^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3z}{4} $

Cộng ba bất đẳng thức trên lại và kết hợp với điều kiện:

$x + y + z \geq \frac{3}{2} $

ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = \frac{1}{2} $
Sau đây là một bài cho các bạn luyện thi TST
Cho các số thực $ a, b, c \in \left[ \dfrac{1}{2}, 2 \right] $. Chứng minh rằng

$ 8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \ge 5 \left(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right)+9 $

03-03-2012, 09:56 PM	#2
hoduckhanhgx +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2010 Bài gởi: 40 Thanks: 138 Thanked 45 Times in 15 Posts	Ta có: $\ {\left[ {a + b + \sqrt {2\left( {a + c} \right)} } \right]^3} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {\sqrt {\dfrac{{a + c}}{2}} } \right) + \left( {\sqrt {\dfrac{{a + c}}{2}} } \right)} \right]^3} \ge \dfrac{{27}}{2}\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) $ Suy ra: $\ \left[ {\sum {{{\left( {\dfrac{1}{{a + b + \sqrt {2\left( {a + c} \right)} }}} \right)}^3}} } \right] \le \sum\limits_{cyc} {\dfrac{2}{{27\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} = \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} $ Cần CM: $\ \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \dfrac{8}{9} $ $\ \Leftrightarrow 6\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge \left( {a + b + c} \right) $ Từ ĐK đề bài ta có: $\ ab + bc + ca \le 16abc\left( {a + b + c} \right) \le \dfrac{{16}}{3}{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} $ $\ \Rightarrow ab + bc + ca \ge \dfrac{3}{{16}} $ Vậy: $\ 9\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge \dfrac{3}{2}\left( {a + b + c} \right) $ $\ \Leftrightarrow 6\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge \left( {a + b + c} \right) $ Q.E.D Sau đây là một bài cho các bạn luyện thi TST Cho các số thực $ a, b, c \in \left[ \dfrac{1}{2}, 2 \right] $. Chứng minh rằng $ 8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \ge 5 \left(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right)+9 $ Bài này có thể chứng minh bằng AM - GM: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 3 số ta có: ${x}^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3x}{4} $ ${y}^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3y}{4} $ ${z}^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3z}{4} $ Cộng ba bất đẳng thức trên lại và kết hợp với điều kiện: $x + y + z \geq \frac{3}{2} $ ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = \frac{1}{2} $ Sau đây là một bài cho các bạn luyện thi TST Cho các số thực $ a, b, c \in \left[ \dfrac{1}{2}, 2 \right] $. Chứng minh rằng $ 8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \ge 5 \left(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right)+9 $ thay đổi nội dung bởi: hoduckhanhgx, 03-03-2012 lúc 10:34 PM Lý do: Tự động gộp bài