[ncthanh]

Nguyên văn bởi Hải Thụy

MỘT SỐ CÂU HÌNH

Bài 2. [PTNK-1]Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $B,\,C$ cố định và $A$ thay đổi trên cung lớn $BC.$ Các đường tròn bàng tiếp góc $A,\,B,\,C$ lần lượt tiếp xúc $BC,\,CA,\,AB$ tại $D,\,E,\,F.$ \\
$\,a.\,$ Gọi $L$ là giao điểm thứ hai của $(ABE)$ và $(ACF).$ CMR $AL$ luôn đi qua một điểm cố định.\\
$\,b.\,$ $(BCF)$ cắt $(BAD)$ tại $M,\,B,$ $(CAD)$ cắt $(CBE)$ tại $N,\,C.$ Gọi $K,\,I,\,J$ lần lượt là trung điểm $AD,\,BE,\,CF.$ CMR $KL,\,IM,\,JN$ đồng quy.

a) Ta thấy $L$ là tâm của phép vị tự quay biến $BF$ thành $CE$, mà $$BF=\dfrac{AB+AC-BC}{2}=CE.$$ Nên hai tam giác $LBF$ và $LEC$ bằng nhau. Kéo theo $LB=LE$, $LF=LC$ nên $AL$ là phân giác góc $BAC$, do đó nó đi qua trung điểm cung nhỏ $BC$ là một điểm cố định.


b) Vì $N$ và $L$ có vai trò tương tự nhau nên từ câu a) ta có $LB=LE$, $NB=NE$ nên $NL$ là trung trực của $BE$, suy ra $I$ thuộc $NL.$ Tương tự $LM$ đi qua $J$ và $MN$ đi qua $K.$

Ta có hai tam giác $LBE$ và $LFC$ đồng dạng có $LI$, $LJ$ là các đường cao tương ứng nên $$\dfrac{LI}{LJ}=\dfrac{BE}{CF}.$$
Và như vậy $$\dfrac{LI}{LJ}\cdot \dfrac{MJ}{MK} \cdot \dfrac{NK}{NI} = \dfrac{BE}{CF} \cdot \dfrac{CF}{AD} \cdot \dfrac{AD}{BE}=1.$$
Nên theo định lí Ceva, ta có $KL$, $MI$ và $NJ$ đồng quy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]