[chemthan]

Nguyên văn bởi nvthanh1994

Bài 3
Cho $n\geq 3,n\in\mathbb{N} $ và $n $ số thực $x_1,x_2,\ldots,x_n $ thỏa mãn
i, $x_1+x_2+\ldots+x_n=0 $
ii, $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=n(n-1) $
iii, $x_1\geq x_2\geq x_2\geq \ldots \geq x_n $

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f=x_1+x_2 $

$x_1\geq x_2\geq ...\geq x_k>0\geq x_{k+1}\geq ...\geq x_n $.
*) $k=1 $.
$1-x_1^2=x_2^2+...+x_n^2\geq (n-1)x_2^2 $.
$\Rightarrow x_2\geq -\sqrt{\frac{1-x_1^2}{n-1}} $.
$\Rightarrow x_1+x_2\geq x_1-\sqrt{\frac{1-x_1^2}{n-1}} $.
$x_1\geq -(n-1)x_2 $.
$\Rightarrow x_1+x_2\geq \frac{n-2}{n-1}x_1 $.
$max(x_1-\sqrt{\frac{1-x_1^2}{n-1}},\frac{n-2}{n-1}x_1)\geq \frac{n-2}{n-1}.\sqrt{\frac{n-1}{n}} $.
Đẳng thức xảy ra: $x_1=\sqrt{\frac{n-1}{n}},x_2=x_3=...=-\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}} $.
*) $k\geq 2 $.
$1=x_1^2+x_2^2+...+x_k^2+x_{k+1}^2+...+x_n^2\leq x_1^2+(k-1)x_2^2+(x_{k+1}+...+x_n)^2=x_1^2+(k-1)x_2^2+(x_1+...+x_k)^2\leq x_1^2+(k-1)x_2^2+(x_1+(k-1)x_2)^2\leq x_1^2+(n-2)x_2^2+(x_1+(n-2)x_2)^2 $.
$\Rightarrow 2x_1^2+(n^2-3n+2)x_2^2+2(n-2)x_1x_2\geq 1 $.
$x_1\geq x_2 $.
$\Rightarrow x_1+x_2\geq \frac{2}{\sqrt{n^2-n}} $.
Đẳng thức xảy ra: $x_1=x_2=...=x_{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n^2-n}}, x_n=-\sqrt{\frac{n-1}{n}} $.

Cái phần này mình làm khi thay $x_1^2+...+x_n^2=n(n-1) $ thành $x_1^2+...+x_n^2=1 $. Chuẩn hóa cơ bản.
$Min=2, x_1=x_2=...=x_{n-1}=1,x_n=1-n $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]