Xem bài viết đơn
Old 07-11-2011, 05:49 PM   #10
Mít đặc
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Bài gởi: 96
Thanks: 10
Thanked 37 Times in 22 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 99 View Post
Em có bài tập này hay :

Bài 5: Cho $M $ là $C^r $-đa tạp với $r\geq 1 $, $A\subset M $ là tập con liên thông. Giả sử có phép co rút $f\colon M\to A $ lớp $C^r $, tức là ánh xạ $f\colon M\to M $ lớp $C^r $ thỏa mãn $f|A = 1_A $ và $f(M) = A $. Chứng minh rằng $A $ là $C^r- $đa tạp con của $M $.
Để đỡ mất công ta dùng từ trơn thay cho cụm "thuộc lớp $C^r $". Với mỗi ax trơn $f $ từ n-đa tạp $M $vào m-đa tạp $M' $ ta kí hiệu $r(f)_x $ là hạng của $Df(x) $. Khi đó ta có 2 tính chất sau:
1- Nếu $r(f)_x = k = constant $ trong 1 lân cận của $x $ thì tồn tại một bản đồ địa phương $h $ của $x $ và một bản đồ $h' $ của$ y=f(x) $ sao cho:
$h'.f.h^{-1}: (x_1, ..., x_n) \mapsto (x_1, ..., x_k, 0, ..., 0) $
(đây là 1 dạng tương đương của đl hàm ngược)
2- $r(f) $ là hàm nửa liên tục trên theo $x $, tức là với mỗi $x $ tồn tại 1 lân cận $U $ của $x $ sao cho
$r(f)_{x'} \ge r(f)_x \ \forall x' \in U $.
-----------------------------------
Vì cm không hề ngắn và phải gõ rất nhiều công thức nên chỉ nêu ý tưởng: Sử dụng tính chất 2 và giả thiết của đề bài (co rút + liên thông) ta chứng minh được $r(f) $ phải là hằng số trên một lân cận của A, đặt$r(f) = k $. Sau đó áp dụng tính chất 1 ta có điều phải chứng minh bằng cách chỉ ra A là đa tạp con theo đúng định nghĩa của đa tạp con. Nó có chiều bằng k.

PS: Nói chung bài này ko dễ, và lời giải này là mình sưu tầm được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Đang học xác suất

thay đổi nội dung bởi: Mít đặc, 07-11-2011 lúc 10:45 PM Lý do: t/c 1 phát biểu thiếu
Mít đặc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 9.35 k/10.52 k (11.16%)]