Trích:
Nguyên văn bởi vjpd3pz41iuai  Bài 10:Cho $a,b,c> 0 $.CMR
$\frac{a^{3}c}{1+c(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{3}a}{1+a( b^{2}+c^{2})}+\frac{c^{3}b}{1+b(c^{2}+a^{2})}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+2abc} $ |
Biến đổi bất đẳng thức theo phương pháp Cauchy ngược dấu:
$$VT=\sum \dfrac{a^3c+ab^2c+a}{1+c(a^2+b^2)}=a+b+c-\sum \dfrac{a}{1+c(a^2+b^2)}-\sum \dfrac{ab^2c}{1+c(a^2+b^2)}$$
Áp dụng Cauchy:
$$a^2+b^2\ge 2ab \Rightarrow c(a^2+b^2)\ge 2abc$$
$$\Rightarrow VT\ge a+b+c-\dfrac{a+b+c}{1+2abc}-\dfrac{abc(a+b+c)}{1+2abc}$$
Mặt khác ta có:
$$a+b+c=\dfrac{(a+b+c)(1+2abc)}{1+2abc}=\dfrac{(a+ b+c)}{1+2abc}+\dfrac{2abc(a+b+c)}{1+2abc}$$
$$\Rightarrow a+b+c-\dfrac{a+b+c}{1+2abc}-\dfrac{abc(a+b+c)}{1+2abc}=\dfrac{abc(a+b+c)}{1+2a bc}$$
Vậy ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]