Trích:
Nguyên văn bởi chemthan Bài 10. Với mỗi số nguyên dương $n $ tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình : $x^2+15y^2=4^n $. |
Bài này liên quan đến bài 4 của VMO 2010 (năm chemthan đoạt HCV IMO). Đáp số có lẽ là n-1. Quy về việc chứng minh phương trình $x^2 + 15y^2 = 4^n $ có đúng 1 nghiệm với x lẻ với mọi $n \ge 2 $.
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi kien10a1 Em nghĩ có cách đơn giản hơn Gọi K là trung điểm AI thì K thuộc (I), tiếp tuyến KS của (I) với S trên BC là trung trực AI, SK cắt lại cung AB không chứa C tại P thì C,I, P thẳng hàng. vẽ SI cắt (CPS) tại O', suy ra O'P=O'C, và $\widehat{SO'C}= \widehat{SPC}=\widehat{NBC } $ nên O'ICB nội tiếp, dễ thấy O cũng thuộc trung trực PC, và $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=120=\widehat{BIC} $ , nên O trùng O', suy ra ĐPCM |
Cảm ơn Kiên. Đúng là có cách như vậy.
Bài này còn có một cách dùng tâm đẳng phương như sau: (do Trần Hoàng Bảo Linh, HS 11 chuyên toán trường PTNK đề xuất)
Nối dài BI cắt (O) tại D, CI cắt (O) tại E.
Khi đó ta có EA = EI, DA = DI (tính chất quen thuộc). Suy ra ED là trung trực AI.
Dùng góc (và điều kiện $A = 60^0 $) dễ dàng chứng minh được O, I, B, C cùng nằm trên 1 đường tròn (C1)và O, I, D, E cùng nằm trên một đường tròn (C2). Suy ra ED, OI, BC là các trục đẳng phương của (O) và (C2), (C1) và (C2), (O) và (C1) suy ra chúng đồng quy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]