[nguoibimat]

Nguyên văn bởi congvan

Bài 13 :Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn : $a+b+c=0$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$. Chứng minh rằng ${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\le \frac{1}{54}$.

Theo đề ta có:
$b+c=-a $
mà $bc=\frac{(b+c)^2-(b^2+c^2)}{2}=a^2-\frac{1}{2}$
Ta lại có: $(b+c)^2 \geq 4bc$ suy ra $a^2 \geq 4a^2 -2 \Rightarrow a^2 \leq \frac{2}{3}$
Từ đó ta có: $a^2b^2c^2 = a^2(a^2-\frac{1}{2})^2 = a^6-a^4+\frac{a^2}{4}$
Ta quy về việc tìm GTLN của hàm $f(t)=t^3-t^2+\frac{t^2}{4}$ với $0 \leq t \leq \frac{2}{3}$.
Lập bảng biến thiên rồi suy ra dpcm.

Đây là một bài hay, đòi hõi chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức , các bất đẳng thức cơ bản và 1 số biến đổi để đưa về 1 biến sao đó xét đạo hàm.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]