KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2012
-------- Ngày thi thứ nhất-------------
Thời gian 180 phút
Bài $\boxed {1} $ (5 điểm).
Cho dãy số thực $(x_n) $ xác định bởi :
$\begin{cases}
& x_1=3\\
& x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)
\end{cases}
$
với mọi $n\geq 2 $.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n\to\+\infty $ và Tính giới hạn đó.
Bài $\boxed{2} $ (5 điểm).
Cho các cấp số cộng $(a_n), \ (b_n) $ và số nguyên $m>2 $. Xét $m $ tam thức bậc hai : $P_k(x) = x^2 + a_k x + b_k ,\ k=1,2,3,....,m $ .
Chứng minh rằng nếu hai tam thức $P_1(x),\ P_m(x) $ đều không có nghiệm thực thì tất cả các đa thức còn lại cũng không có nghiệm thực.
Bài $\boxed{3} $ (5 điểm) .
Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi $ABCD $ nội tiếp đường tròn tâm $O $ và có các cặp cạnh đối không song song. Gọi $M,N $ tương ứng là giao điểm của các đường thẳng $AB $ và $CD $, $AD $ và $BC $. Gọi $P, Q, S, T $ tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp $\angle MAN $ và $\angle MBN $, $\angle MBN $ và $\angle MCN $, $\angle MCN $ và$ \angle MDN $, $\angle MDN $ và $\angle MAN $. Giả sử bốn điểm $P, Q, S, T $ đôi một phân biệt.
1) Chứng minh rằng bốn điểm $P, Q, S, T $ cùng nằm trên một đường tròn. Gọi $I $ là tâm của đường tròn đó.
2) Gọi $E $ là giao điểm của các đường chéo $ AC $ và $BD $. Chứng minh rằng ba điểm $E, O, I $ thẳng hàng.
Bài $\boxed{4} $ (5 điểm) .
Cho số nguyên dương $n $. Có $n $ học sinh nam và $n $ học sinh nữ xếp thành một hàng ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh (trong số $2n $ học sinh vừa nêu) được cho một số kẹo bằng đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với X và đứng ở hai phía của $X $. Chứng minh rằng tổng số kẹo mà tất cả $2n $ học sinh nhận được không vượt quá $\frac{1}{3}n(n^2-1) $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]