[Thụy An]

Nguyên văn bởi MATHSCOPE

$\boxed{14}$ [Đà Nẵng] Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, số nguyên dương n được gọi là "tốt" nếu tồn tại đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên, có bậc bằng $p$ và hệ số bậc cao nhất bằng 1 sao cho $n$ là ước số của $P(k)$ với mọi số nguyên $k$. Một số nguyên dương mà không phải là số tốt được gọi là số "xấu". Chứng minh rằng:

1. $p$ là số tốt,
   
2. $p^2$ là số xấu.

1. Xét $P_p(x)=x^p-x$, theo định lý Fermat bé ta có\[p\mid P_p(k)\quad\forall\,k\in\mathbb Z.\]Do vậy, $p$ là số tốt.
   
   
2. Nếu $p^2$ là số "tốt", ta giả sử $P(x)$ là đa thức monic có bậc $p$ và thỏa mãn\[p^2\mid P(k)\quad\forall\,k\in\mathbb Z.\]Khi đó kéo theo $p\mid P(k)\;\forall\,k\in\mathbb Z$, cho nên $P(x)=x^p-x+pQ(x)$ với $Q\in\mathbb Z[x]$, ta có $p^2\mid P(0)$ nên $p\mid Q(0)$. Lại vì $Q\in\mathbb Z[x]$ nên $p\mid Q(p)$ từ đó dẫn đến mâu thuẫn là\[0 \equiv P\left( p \right) \equiv {p^p} - p + pQ\left( p \right) \equiv - p\pmod{p^2}.\] Vậy, $p^2$ là số "xấu".

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]