CÁC LỚP THCS
$\fbox{Bài T1/353.}$
(Lớp 6). Tìm số tự nhiên có $2n$ chữ số dạng $\overline{a_1a_2...a_{2n-1}a_{2n}}$ thỏa mãn hệ thức $\overline{a_1a_2...a_{2n-1}a_{2n}}=a_1.a_2+...+a_{2n-1}.a_{2n}+2006$
$\fbox{Bài T2/353.}$
(Lớp 7). Có hay không ba số $a, b, c$ thỏa mãn $$\dfrac{a}{b^2-ca}=\dfrac{b}{c^2-ab}=\dfrac{c}{a^2-bc}$$
$\fbox{Bài T3/353.}$ Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
$(i)$ $\dfrac{x-y\sqrt{2006}}{y-z\sqrt{2006}}$ là một số hữu tỉ.
$(ii)$ $x^2+y^2+z^2$ là một số nguyên tố.
$\fbox{Bài T4/353.}$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=xyz$, trong đó $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn
$$\dfrac{8- x^4}{16+x^4}+\dfrac{8-y^4}{16+y^4}+\dfrac{8-z^4}{16+z^4} \ge 0$$
$\fbox{Bài T5/353.}$ Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{2}{9} \le a^3+b^3+c^3+3abc < \dfrac{1}{4}$$
$\fbox{Bài T6/353.}$ Cho tứ giác lồi $AA'C'C$ có hai đường thẳng $AC$ và $A'C'$ cắt nhau tại $I$. Lấy điểm $B$ trên cạnh $AC$ và điểm $B'$ trên cạnh $A'C'$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC'$ và $A'C$; $P$ là giao điểm của $AB'$ và $A'B$; Q là giao điểm của $BC'$ và $B'C$. Chứng minh rằng ba điểm $P, O, Q$ thẳng hàng.
$\fbox{Bài T7/353.}$ Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Lấy điểm $D$ trên cạnh $AB$ và điểm $E$ trên cạnh $AC$ sao cho $DE=BD+CE$. Tia phân giác của góc $BDE$ cắt cạnh $BC$ tại $I$.
a) Tính độ lớn góc $DIE$.
b) Chứng minh rằng đường thẳng $DI$ luôn đi qua một điểm cố định khi $D$ và $E$ di động trên các cạnh $AB$ và $AC$ tương ứng.
CÁC LỚP THPT
$\fbox{Bài T8/353.}$ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ lớn hơn $1$ thỏa mãn điều kiện: Với mọi $k$ thỏa mãn $1<k<n$ và $(k,n)=1$ thì $k$ là số nguyên tố.
$\fbox{Bài T9/353.}$ Tìm tất các đa thức $P(x)$ thỏa mãn điều kiện: $P(x^{2006}+y^{2006})=\left(P(x)\right)^{2006}+
\left(P(y)\right)^{2006}$
$\fbox{Bài T10/353.}$ Giải phương trình:
$$2\sqrt{x^2-\dfrac{1}{4}+\sqrt{x^2-\dfrac{1}{4}+\sqrt{...+\sqrt{x^2-\dfrac{1}{4}+\sqrt{x^2+x+\dfrac{1}{4}}}}}}=2x^3+3x ^2+3x+1$$
Trong đó biểu thức vế trái có 2006 dấu căn thức bậc hai.
$\fbox{Bài T11/353.}$ Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Các đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $P$, $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}=R^2$.
$\fbox{Bài T12/353.}$ Cho tứ diện $ABCD$ và $M$ là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng $MA, MB, MC, MD$ cắt các mặt $BCD, CDA, DAB, ABC$ tương ứng tại $A',B',C',D'$. Chứng minh rằng thể tích của tứ diện $A'B'C'D'$ không vượt quá $\dfrac{1}{27}$ thể tích của tứ diện $ABCD$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]