Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - [VMO 2014] Bài 2

quangvinht2 · 03-01-2014, 02:03 PM

Vì P(x) luôn dương nên không có ước bậc lẻ. Giả sử P(x) phân tích thành tích n+1 đa thức monic bậc chẵn có tổng bậc là 4n nên tồn tại hai ước P1(x) và P2(x) bậc hai bất khả quy trên R. Vì cả hai monic nên luôn dương và P1(1).P2(1)|13, P1(6)P2(6)|13 nên chỉ có mấy khả năng sau
1/ P1(1)=P1(6)=1=> P1(x) có nghiệm thực (mâu thuẫn)
2/{P1(1);P1(6)}={1;13} => mâu thuẫn vì P1(6)-P1(1) là bội 5.
3/ P1(1)=P1(6)=13 thì P2(1)=P2(6)=1 mâu thuẫn giống phần 1.

03-01-2014, 02:03 PM	#6
quangvinht2 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2009 Bài gởi: 18 Thanks: 9 Thanked 25 Times in 8 Posts	Vì P(x) luôn dương nên không có ước bậc lẻ. Giả sử P(x) phân tích thành tích n+1 đa thức monic bậc chẵn có tổng bậc là 4n nên tồn tại hai ước P1(x) và P2(x) bậc hai bất khả quy trên R. Vì cả hai monic nên luôn dương và P1(1).P2(1)\|13, P1(6)P2(6)\|13 nên chỉ có mấy khả năng sau 1/ P1(1)=P1(6)=1=> P1(x) có nghiệm thực (mâu thuẫn) 2/{P1(1);P1(6)}={1;13} => mâu thuẫn vì P1(6)-P1(1) là bội 5. 3/ P1(1)=P1(6)=13 thì P2(1)=P2(6)=1 mâu thuẫn giống phần 1.