[hoangqnvip]

Bài 1:
Theo giả thiết, ta đặt:
$\frac{1}{a}=sin\frac{A}{2}$
$\frac{1}{b}=sin\frac{B}{2}$
$\frac{1}{c}=sin\frac{C}{2}$
Khi đó bất đẳng thức tương đương với:
$2\sum \frac{1}{sin\frac{A}{2}}-\frac{1}{sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2 }} \leq 4$
$\Leftrightarrow 2\sum sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}-1 \leq 4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
$\Leftrightarrow 2\sum sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2} \leq \sum cosA$
Ta sẽ CM BĐT trên
$tan\frac{A}{2}\left ( sinB+sinC \right )=cosB+cosC$
Tương tự suy ra:
$\sum tan\frac{A}{2}\left ( sinB+sinC \right )=2(cosA+cosB+cosC)$
Mặt khác, $\sum (tan\frac{A}{2}sinB+tan\frac{B}{2}sinA) \geq 4\left ( \sum sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2} \right )$
Suy ra đpcm
------------------------------
Bài 2:
Bổ đề: $B'C' \perp AI$
Bổ đề trên có thể chứng minh đơn giản bằng biến đổi góc.
Giả sử $AI$ cắt $B'C'$ tại $P$
Khi đó ta có $P$ là giao điểm thứ hai của 2 đường tròn đường kính $B'I$ và $C'I$
Suy ra $AI$ là trục đẳng phương của 2 đường tròn đường kính $B'I$ và $C'I$
Từ đây ta có $A_1,A_2,B_1,B_2$ đồng viên
Tương tự, ta có được 6 điểm trên đồng viên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]