Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - [VMO 2014] Bài 6

K.I.A · 04-01-2014, 01:16 PM

Dễ chứng minh :$a^4+b^4 \ge \dfrac{2}{3}ab\left(a^2+b^2+ab\right)$ và $(a+b)^3 \ge 4ab(a+b)$
Áp dụng, ta được:
$\dfrac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3} \le \dfrac{3}{8}.\dfrac{x^3y^4z^3}{xy(x^2+y^2+xy)z^2xy (z^2+xy)}$
$=\dfrac{3}{8}.\dfrac{xy^2z}{(x^2+xy+y^2)(z^2+xy)} $
$=\dfrac{3}{8}.\dfrac{xy^2z}{(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 )+xy(x^2+y^2+z^2)}$
$\le \dfrac{3xy^2z}{32}.\left[\dfrac{1}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}+\dfrac{1}{xy(x^2+y ^2+z^2)}\right]$
$= \dfrac{3}{32}.\left(\dfrac{xyz.y}{x^2y^2+y^2z^2+z^ 2x^2}+\dfrac{yz}{x^2+y^2+z^2}\right)$
Đánh giá tương tự ta thu được:
$$T \le \dfrac{3}{32}.\left[\dfrac{xyz(x+y+z)}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}+\dfrac{xy +yz+zx}{x^2+y^2+z^2}\right] \le \dfrac{3}{16}$$
Cầu trời cho đúng

04-01-2014, 01:16 PM	#5
K.I.A +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2013 Bài gởi: 13 Thanks: 1 Thanked 18 Times in 4 Posts	Dễ chứng minh :$a^4+b^4 \ge \dfrac{2}{3}ab\left(a^2+b^2+ab\right)$ và $(a+b)^3 \ge 4ab(a+b)$ Áp dụng, ta được: $\dfrac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3} \le \dfrac{3}{8}.\dfrac{x^3y^4z^3}{xy(x^2+y^2+xy)z^2xy (z^2+xy)}$ $=\dfrac{3}{8}.\dfrac{xy^2z}{(x^2+xy+y^2)(z^2+xy)} $ $=\dfrac{3}{8}.\dfrac{xy^2z}{(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 )+xy(x^2+y^2+z^2)}$ $\le \dfrac{3xy^2z}{32}.\left[\dfrac{1}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}+\dfrac{1}{xy(x^2+y ^2+z^2)}\right]$ $= \dfrac{3}{32}.\left(\dfrac{xyz.y}{x^2y^2+y^2z^2+z^ 2x^2}+\dfrac{yz}{x^2+y^2+z^2}\right)$ Đánh giá tương tự ta thu được: $$T \le \dfrac{3}{32}.\left[\dfrac{xyz(x+y+z)}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}+\dfrac{xy +yz+zx}{x^2+y^2+z^2}\right] \le \dfrac{3}{16}$$ Cầu trời cho đúng