Trích:
Nguyên văn bởi lady_kom4  [B] Bài 11 /B] Cho $\Delta ABC $ nội tiếp $(O) $.$M,N $ làn lượt là điểm chính giữa cung $AB $ không chứa $C $ và cung $AC $ không chứa $B $.$D $ là trung điểm $MN $.$G $ là một điểm bất kì trên cung $BC $ không chứa $A $.$I,J,K $ lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác $ABC,ABG,ACB $.Gọi $P $ là giao điểm thứ hai của $(GIK) $ với $(ABC). $ Chứng minh rằng $P \in DI $ |
Lời giải bài 11 :
Do $G,J,M $ thẳng hàng, $G,K,N $; tứ giác $PJKG $ và $PMNG $ nội tiếp
$\Rightarrow\Delta PJM \sim \Delta PKN $
$\Rightarrow \frac{PM}{PN}=\frac{JM}{KN} $
Theo một kết quả quen biết thì $JM=AM,KN=AN $
$\Rightarrow\frac{PM}{PN}=\frac{AM}{AN}\Rightarrow $tứ giác $AMPN $ điều hòa
Tiếp theo gọi $P',T=DI\cap(O) $ ($P' $ thuộc cung $BC $ ko chứa $A $)
Ta chứng minh được $AMNT $ là hình thang cân $\Rightarrow AM=TN,AN=TM $(1)
Theo một kết quả khác:
$\frac{DM}{DN}=\frac{MT.MP'}{TN.P'N}=1 $(2)
Từ (1),(2) $\Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{P'M}{P'N} \Rightarrow $ tứ giác $AMP'N $ điều hòa
$\Rightarrow P\equiv P' $
Bài toàn được chúng minh xong.
Một cách khác cho bài 10:
Gọi $M,N,P $ lần lượt là chân đường phân giác ngoài tại đỉnh $A,B,C $ của $\Delta ABC $
Khi đó tậm $(AID),(BIE),(CIF) $ lần lượt là trung điểm của $IM,IN,IP $ mà ta chứng minh được M,N,P thẳng hàng nên 3 trung điểm này thẳng hàng, suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]