[tson1997]

A/
Kẻ đường thẳng qua A song song với BC cắt đường tròn đường kính AM ở S.Ta có:
$A(BCMS)=-1$ (Do M là trung điểm BC và AS song song BC)
$\Rightarrow A(EFMS)=-1 \Rightarrow (EFMS)=-1$ hay tứ giác EFMS là tứ giác điều hòa
Như vậy thì K sẽ thuộc vào tiếp tuyến tại S của (AM).Từ đây suy ra KS=KM
Mà ASMD là hình chữ nhật suy ra KA=KD

b/ Ta có: $D(PQMS)=D(EFMS)=(EFMS)=-1 $
Mà DM // PQ nên từ đây ta có S là trung điểm PQ
Gọi giao điểm của BQ và CP là J,Xét $V_{J}^{\frac{JC}{JP}}$:
$ B \rightarrow Q $
$ C \rightarrow P $
$\Rightarrow M \rightarrow S$
hay J;M;S thẳng hàng $\Rightarrow$ JS vuông góc PQ hay tam giác JPQ cân $\Rightarrow \widehat{BQP}=\widehat{CPQ}$

Bài hình ý a là 1 phát triển khá hay từ ý tưởng của bài toán khá cũ

Cho tam giác ABC,M là trung điểm BC,đường tròn đường kính AM cắt AB,AC ở E;F.Tiếp tuyến tại E và F cắt nhau ở T.Khi đó T thuộc trung trực BC

Ta có 1 mở rộng cho câu (a) như sau: Cho tam giác ABC,trung điểm M của BC,trực tâm H của tam giác ABC.Trên MH lấy điểm P .Đường tròn đường kính AP cắt AB;AC;AH lần lượt ở E;F;D.Trên cung EF k chứa A lấy điểm Q sao cho QM vuông góc BC,tiếp tuyến tại M của (AP) cắt EF ở K,khi đó KD=KA

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]