[khanhphuong28]

Nguyên văn bởi Snow Bell

Ủng hộ bạn một bài.
Bài 4. Cho $ x, y, z $ là các số thực thỏa mãn $ 1 \le x, y, z \le 4 $ và $ x=\max(x, y, z) $. Tìm GTNN của:
$$ N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}. $$

Đặt $y=ax, z=bx \Rightarrow a,b \in[ \dfrac{1}{4};1]$
Biểu thức được viết lại $N= \dfrac{1}{2+3a}+ \dfrac{a}{a+b}+ \dfrac{b}{b+1}$.
$ \Rightarrow N'(b)=- \dfrac{a}{(a+b)^2}+ \dfrac{1}{(b+1)^2}$.
$N'(b)=0 \Rightarrow (a+b)^2-a(b+1)^2=0 \Leftrightarrow (1-a)(b^2-a)=0 \Rightarrow b= \sqrt{a}$
vì $b,a \in[ \dfrac{1}{4};1] \Rightarrow$ Min$N(b)=N( \sqrt{a})= \dfrac{1}{2+3a}- \dfrac{2}{1+ \sqrt{a}}+2$.
Đặt $t= \sqrt{a} \Rightarrow t \in[ \dfrac{1}{2};1]$
Xét hàm $N(t)=\dfrac{1}{2+3t^2}- \dfrac{2}{1+t}+2$
Ta có $N'(t)=- \dfrac{6t}{(2+3t^2)^2}+ \dfrac{2}{(1+t)^2}$
$N'(t)=0 \Leftrightarrow 2(2+3t^2)^2-6t(1+t)^2=0 \Leftrightarrow 18t^4-6t^3+12t^2-6t+8=0$. Vì $t \in[ \dfrac{1}{2};1] \Rightarrow 18t^4-6t^3+12t^2-6t+8>0 \Rightarrow N'(t)>0$ với mọi $t \in[ \dfrac{1}{2};1]$.
$ \Rightarrow N(t) \geq N( \dfrac{1}{2})= \dfrac{34}{33}$
Vậy Min$N= \dfrac{34}{33}$ khi $t= \dfrac{1}{2}$ hay $a= \dfrac{1}{4}, b= \dfrac{1}{2}$ hay $y= \dfrac{x}{4}, z= \dfrac{x}{2} \Rightarrow x=4,y=1,z=2$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]