[Galois_vn]

Dùng một trong hai giả thiết, $(x_{n+1}-x_{n})(1-x_{n}x_{n+1})\ge 0 $ và $\lim\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$, ta chỉ ra đúng 1 trường hợp sau xảy ra

• Trường hợp 1: Tồn tại số tự nhiên $M$ đủ lớn sao cho $u_N\ge 0$ thì $u_{n}\ge 0 \forall n \in \mathbb{N}: n\ge M$;
  
  Nếu $u_n>0$ thì dùng một trong hai giả thiết trên, ta có $u_{n+1}>0$.
• Trường hợp 2: $u_n <0$ với mọi $ n \in \mathbb{N}.$

Xét trường hợp 2: Ta suy ra dãy thỏa $$-1<x_n \le x_{n+1}<0\, \forall n \in \mathbb{N}.$$
Do đó dãy hội tụ.

Xét trường hợp 1: Lúc này, ta có thể thấy: không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $u_{n} >0\, \forall n \in \mathbb{N}$.

Nhận xét: Với $a>0$, nếu $a\le x \le \frac{1}{a}$ thì $a\le \frac{1}{x} \le \frac{1}{a}.$

Do đó $$x_{n}\in [b,\frac{1}{b}] \, \forall n \in \mathbb{N},$$
trong đó $b= \min\{x_1, \frac{1}{x_1}\}$,
và
$$ \min\{x_n, \frac{1}{x_n}\}\le x_{m}\le \max\{x_n, \frac{1}{x_n}\} \, \forall m\ge n \in \mathbb{N}.$$

Đặt $$I= \{n\in \mathbb{N}: x_{n} \le x_{n+1}\},$$ và
$$J= \{n\in \mathbb{N}: x_{n+1}< x_{n} \}.$$

Nhận xét:

• $I,\, J$ tạo thành một phân hoạch của $\mathbb{N}$.
• $n \in I \Leftrightarrow x_{n}\le 1$.

Khi đó $\{u_n\}:=\{x_n\}_{n\in I}$ là dãy con tăng bị chặn của $\{x_n\}$ và $\{v_n\}:=\{x_n\}_{n\in J}$ là dãy con giảm bị chặn của $ \{x_n\}$.

Do đó tồn tại hai số thực $u, v$: $u=\lim u_n$, và $v=\lim v_n.$

Lúc này, ta chỉ cần chứng minh $u=v$ (ta sẽ thu được điều phải chứng minh).
Ta xét hai trường hợp sau

• TH 1.1:
  Tập hợp $\{(n,n+1)\in \left(I\times J \right)\bigcup \left(J\times I \right)\}$ là tập vô hạn, (dùng giả thiết thứ hai) ta suy ra $a=b$.
  
  
  
  Thoáng thấy, giới hạn của $\{x_n\}$ là 1 (nhờ đặc tính dãy $\{u_n\}, \,\{v_n\}$).
  
  
• TH 1.2:
  Với mọi $k\in \mathbb{N}$, tồn tại $n_1\in \mathbb{N}$ sao cho
  $$(n,n+1)\not \in \left(I\times J\right)\bigcup \left(J\times I \right),\, \forall n\ge n_1.$$
  • Nếu $n_{1}
    \in I$ thì $n \in I \forall n\ge n_k.$
  • Nếu $n_{1}
    \in J$ thì $n \in J \forall n\ge n_k.$
  Cả hai trường hợp này đều dẫn đến dãy $\{x_n\}$ hội tụ.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]