Trích:
Nguyên văn bởi hakudoshi  Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau $2013$ bước, số $2013$ xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: $1$ và $1000$?
b) Các số cho trước là: $1,2,...,1000$ và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải? |
Câu a chỉ cần liệt kê ra là thấy ngay. Chú ý rằng ta chỉ quan tâm đến số lần xuất hiện của 2013 nên khi có 2 số đứng kề nhau mà tổng các số đều lớn hơn 2013 thì ta không cần liệt kê nữa.
Ta có
1 1000
B1: 1 1001 1000
B2: 1 1002 1001 2001 1000
B3: 1 1003 1002 2003 1001 3002 2001 3001 1000
B4: 1 1004 1003 2005 1002 (ta giữ lại 3 số đầu)
B5: 1 1005 1004 ...
B6: 1 1006 1005 2009 1004
B7: 1 1007 1006 2011 1005...
B8: 1 1008 1007 2013 1006...
Số 2013 xuất hiện lần đầu tiên. Sau đó, trừ tổng của cặp đầu tiên còn bé hơn 2013 thì các cặp còn lại đều lớn hơn 2013. Dễ thấy ngay từ đầu, số thứ 2 trong dãy tăng đúng 1 đơn vị nên sau 2013 bước thì số thứ 2 đó sẽ nhận giá trị 2013 đúng một lần.
Vậy số 2013 xuất hiện đúng 2 lần.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]