Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Seminar các PP toán sơ cấp: Sáng tạo phương trình hàm từ các hằng đẳng thức

leviethai · 21-07-2010, 07:14 PM

Để mọi người có thể dễ dàng đóng góp hơn, xin đưa ra một vài vấn đề:

1) Ngoài hàm $f(x) = ax $, còn hàm nào thỏa $f(x+y)=f(x)+f(y) $

2) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn:
$f^2(x+y)=f(x^2)+2f(x)f(y)+f(y^2) $ $\forall x,y \in R $

3) Với $n \in {N^*} $ cho trước, tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn:
$f\left( {{x_1} + x_2^2 + ... + x_n^n} \right) = f\left( {{x_1}} \right) + {f^2}\left( {{x_2}} \right) + ... + {f^n}\left( {{x_n}} \right) $ $\forall {x_1},{x_2},...,{x_n} \in R $

4) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn:
$\left( {f(x) + f(z)} \right)\left( {f(y) + f(t)} \right) = f(xy - zt) + f(xt + yz) $ $\forall x,y,z,t \in R $

5) Tìm tất cả các hàm $f:{Q^ + } \to {Q^ + } $ thỏa mãn:
$f\left( x \right) + f\left( y \right) + 2xy.f\left( {xy} \right) = \dfrac{{f\left( {xy} \right)}}{{f\left( {x + y} \right)}} $ $\forall x,y \in {Q^ + } $

6) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn đồng thời:
a) $f\left( {{x^4} - {y^4}} \right) = f\left( {x - y} \right)f\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) $ $\forall x,y \in R $
b) $f\left( {xy} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right) $ $\forall x,y \ge 0 $

7) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn :
$f\left[ {{x^2} + f\left( y \right)} \right] = y + {f^2}\left( x \right) $ $\forall x,y \in R $

Trước mắt là vậy, mọi người có ý kiến đóng góp xin gửi về email: leviethai123@yahoo.com hoặc email qua nick leviethai trên diễn đàn. (nếu là lời giải mong mọi người không post ở đây, để seminar có thể diễn ra một cách hào hứng hơn

, còn nếu là ý kiến mở rộng bài toán, hay đề xuất bài toán thì rất cảm ơn)

Rất mong được nghe ý kiến của mọi người. Xin cảm ơn.

21-07-2010, 07:14 PM	#4
leviethai +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2008 Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình. Bài gởi: 513 Thanks: 121 Thanked 787 Times in 349 Posts	Để mọi người có thể dễ dàng đóng góp hơn, xin đưa ra một vài vấn đề: 1) Ngoài hàm $f(x) = ax $, còn hàm nào thỏa $f(x+y)=f(x)+f(y) $ 2) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn: $f^2(x+y)=f(x^2)+2f(x)f(y)+f(y^2) $ $\forall x,y \in R $ 3) Với $n \in {N^*} $ cho trước, tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn: $f\left( {{x_1} + x_2^2 + ... + x_n^n} \right) = f\left( {{x_1}} \right) + {f^2}\left( {{x_2}} \right) + ... + {f^n}\left( {{x_n}} \right) $ $\forall {x_1},{x_2},...,{x_n} \in R $ 4) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn: $\left( {f(x) + f(z)} \right)\left( {f(y) + f(t)} \right) = f(xy - zt) + f(xt + yz) $ $\forall x,y,z,t \in R $ 5) Tìm tất cả các hàm $f:{Q^ + } \to {Q^ + } $ thỏa mãn: $f\left( x \right) + f\left( y \right) + 2xy.f\left( {xy} \right) = \dfrac{{f\left( {xy} \right)}}{{f\left( {x + y} \right)}} $ $\forall x,y \in {Q^ + } $ 6) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn đồng thời: a) $f\left( {{x^4} - {y^4}} \right) = f\left( {x - y} \right)f\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) $ $\forall x,y \in R $ b) $f\left( {xy} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right) $ $\forall x,y \ge 0 $ 7) Tìm tất cả hàm $f: R \to R $ thỏa mãn : $f\left[ {{x^2} + f\left( y \right)} \right] = y + {f^2}\left( x \right) $ $\forall x,y \in R $ Trước mắt là vậy, mọi người có ý kiến đóng góp xin gửi về email: leviethai123@yahoo.com hoặc email qua nick leviethai trên diễn đàn. (nếu là lời giải mong mọi người không post ở đây, để seminar có thể diễn ra một cách hào hứng hơn , còn nếu là ý kiến mở rộng bài toán, hay đề xuất bài toán thì rất cảm ơn) Rất mong được nghe ý kiến của mọi người. Xin cảm ơn.