[Traum]

Ta có:
$(x^4 + y^4)\ge \frac{1}{8}(x+y)^4 $.
$(x+y)(xy+z^2) \ge (x\sqrt{y} + \sqrt{y}z)^2 = y(x+z)^2 $
$(x+y)(xy+z^2)\ge (\sqrt{x}y+\sqrt{x}z)^2 = x(y+z)^2 $
$xy+z^2\ge 2\sqrt{xy}{z} $
và $(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz $.

Vậy ta có: $(x^4 + y^4)(xy+z^2)^3\ge \frac{1}{4}(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2x^{3/2}y^{3/2}z $. Do đó:

$T\le 4\sum\frac{x^{3/2}y^{5/2}z^2}{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}\le \frac{1}{2}\sum\frac{x^{1/2}y^{3/2}z}{(x+y)(y+z)(z+x)} $.

Ta chứng minh $\sum x^{1/2}y^{3/2}z\le \frac{3}{8}(x+y)(y+z)(z+x) = \frac{3}{8}\left(2xyz+xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+zx^2+z^2 x\right) $ (*).

Ta có: $x^2z + z^2y\ge xy^{1/2}z^{3/2} $, $z^2y + y^2x\ge 2x^{1/2}y^{3/2}z $ và $y^2x + x^2z\ge 2 x^{3/2}yz^{1/2} $. Hay $\sum xy^2\ge \sum x^{1/2}y^{3/2}z $.

Lại có: $y^2z + xyz\ge 2x^{1/2}y^{3/2}z $ nên ta có $\left(\sum y^2z\right) + 3xyz\ge 2\sum x^{1/2}y^{3/2}z $.

Vậy ta sẽ có:

$3xyz + \sum (xy^2+x^2y) \ge 3\sum x^{1/2}y^{3/2}z\ge \frac{8}{3}\left(\sum x^{1/2}y^{3/2}z\right) + xyz $ hay BĐT (*) được chứng minh.

Vậy ta luôn có $T\le \frac{1}{2}\frac{3}{8} = \frac{3}{16} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]