Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Topic luyện giải các bài toán phương trình hàm

Copal · 14-09-2011, 05:02 PM

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ thỏa $f(x^2 - y) = xf(x) - f(y) $ với mọi $x,y $ thuộc $\mathbb{R} $.
Em mới học về phương trình hàm giải thử bài này mọi người xem giúp em có vấn đề gì không ạ

.

Cho $x = 0 $ thì $f(y) + f(-y) = 0 $ nên $f $ là hàm lẻ.
Thay $x = y = 1 $ ta được $f(0) = 0 $.
Thay $y = 0 $ ta có $f(x^2) = xf(x) \Leftrightarrow \frac{f(x^2)}{x^2} = \frac{f(x)}{x} $
Đặt $\frac{f(x)}{x} = g(x) $ ta có $g(x^2) = g(x) $
Do f là hàm lẻ nên ta xét $x \geq 0 $
$g(x^2) = g(x) = \ldots =g(x^{\frac{1}{2n}}) $
Cho $n \to +\infty $ ta được $g(x) = g(1) = f(1) $
Vậy: $f(x) = f(1)x $
Đặt $f(1) = a $ thì $f(x) = ax $. Thử lại thỏa đề bài

14-09-2011, 05:02 PM	#8
Copal +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Bài gởi: 36 Thanks: 19 Thanked 0 Times in 0 Posts	Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ thỏa $f(x^2 - y) = xf(x) - f(y) $ với mọi $x,y $ thuộc $\mathbb{R} $. Em mới học về phương trình hàm giải thử bài này mọi người xem giúp em có vấn đề gì không ạ . Cho $x = 0 $ thì $f(y) + f(-y) = 0 $ nên $f $ là hàm lẻ. Thay $x = y = 1 $ ta được $f(0) = 0 $. Thay $y = 0 $ ta có $f(x^2) = xf(x) \Leftrightarrow \frac{f(x^2)}{x^2} = \frac{f(x)}{x} $ Đặt $\frac{f(x)}{x} = g(x) $ ta có $g(x^2) = g(x) $ Do f là hàm lẻ nên ta xét $x \geq 0 $ $g(x^2) = g(x) = \ldots =g(x^{\frac{1}{2n}}) $ Cho $n \to +\infty $ ta được $g(x) = g(1) = f(1) $ Vậy: $f(x) = f(1)x $ Đặt $f(1) = a $ thì $f(x) = ax $. Thử lại thỏa đề bài thay đổi nội dung bởi: novae, 14-09-2011 lúc 05:19 PM