| $\boxed{3}$ [Lạng Sơn] Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng \[{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right)^2} \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right).\]
Đặt $\frac{a}{b}=x,\frac{b}{c}=y,\frac{c}{a}=z$, có $xyz=1$. BĐT trở thành:
$(x+y+z)^{2}\ge x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3$
hay
$(x+y+z)^{2}\ge x+y+z+xy+yz+zx+3$
hay
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx\ge x+y+z+3$
Sử dụng giả thiết $xyz=1$, bđt cần chứng minh có được trực tiếp từ $xy+yz+zx\ge 3$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge x+y+z$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] |