Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2018-2019-Lời giải và bình luận

**MATHSCOPE** · 18-09-2018, 02:41 PM

Các bài toán Hình Học

$\boxed{1}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ $P,\,Q$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB,\,OAC$. $R$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$. Gọi $X$ là giao điểm của $RP$ và $CP$, $Y$ là giao điểm của $RC$ và $BQ$. Chứng minh rằng $\widehat{BAX} = \widehat{YAC}$.

$\boxed{2}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội]Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $O$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$; $M,\,N$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $BI$ và $CI$ và đường tròn $O$. Đường thẳng $BI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNF$ tại điểm thứ hai $P$, đường thẳng $CI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ tại điểm thứ hai $Q$.

Chứng minh rằng tứ giác $EFBQ$ nội tiếp một đường tròn.
Qua $I$ kẻ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $BC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $EFBQ$ nằm trên $\Delta$.

$\boxed{3}$ [Lạng Sơn] Cho hình chữ nhật $ABCD$, nội tiếp đường tròn $O$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm các cung nhỏ $BC,\,AD$. Gọi $I,\,J$ lần lượt là trung điểm $OM,\,ON$. Gọi $K$ là điểm dối xứng với $O$ qua $M$.

Chứng minh răng tứ giác $BJDK$ nội tiếp đường tròn
Gọi $P,\,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $AB,\,AC$. Chứng minh rằng $AK\bot PQ$.

$\boxed{4}$ [Quảng Bình] Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $D,\,E,\,F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ($I$) nội tiếp tam giác $ABC$ với các cạnh $AB,\,BC,\,AC$, đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $CI,\,BI,\,AM$ lần lượt tại $X,\,Y,\,N$. Chứng minuh rằng

Giả sử $BC$ cố định và $A$ thay đổi trong mặt phẳng sao cho $\widehat{BAC}=\alpha,\;\ 0 < \alpha< 180^o$. Chứng minh độ dài đoạn $XY$ không đổi.
Giả sử tam giác $ABC$ không cân, chứng minh rằng ba điểm $N,\,I,\,D$ thẳng hàng và $\dfrac{{NX}}{{NY}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}$.

$\boxed{5}$ [Quảng Bình] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân, ($AB<AC$) có $H$ là trực tâm, nội tiếp đường tròn $(O)$ $BE,\,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$ $(E\in AC,\,F\in AB )$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$, đường thẳng $AG$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M$.

Gọi $T$ trung điểm $BC$, chứng minh rằng $GH\bot AT$.
Lấy điểm $P$ nào đó trên tia $BC$ ($P$ nằm ngoài đoạn $PC$). Đường tròn $(O)$ cắt $AP$ tại $I$ và cắt đường tròn đường kính $AP$ tại $Q$ ($I,\,Q$ đều khác $A$) $AQ$ cắt $BC$ tại $J$. Chứng minh rằng đường thẳng $IJ$ luôn đi qua một điểm cố định.

$\boxed{6}$ [Sài Gòn] Cho $AB$ là một dây cố định khác đường kính của đường tròn $(O)$ cố định. Gọi $M$ là trung điểm của cung nhỏ $AB$. Xét đường tròn $\left(O' \right)$ thay đổi tiếp xúc $(O)$ tại một điểm thuộc cung lớn $AB$ ($\left(O' \right)$ khác phía đối với $M$ so với đường thẳng $AB$). Các đường thẳng qua $M$ vuông góc với $O'A$ và $O'B$ cắt $AB$ tại các điểm $C,\,D$.

Chứng minh rằng $AB=2CD$.
Gọi $T$ là một điểm thuộc $O'$ sao cho góc $ATB=90^o$. Giả sử tiếp tuyến của $\left(O' \right)$ tại $T$ cắt đoạn $AB$ tại $N$ và đường thẳng $MN$ cắt $\left(O\right)$ tại $K$ khác $M$. Vẽ đường tròn $M,\,K$ tiếp xúc ngoài với $\left(O' \right)$ tại $S$. Chứng minh rằng $S$ luôn di chuyển trên một đường tròn cố định khi $\left(O' \right)$ thay đổi.

$\boxed{7}$ [Sài Gòn] Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân và nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(J)$ thay đổi đi qua $B,\,C$ và cắt các đoạn $AB,\,AC$ lần lượt tại $D,\,E$. Trên đường thẳng $BC$ lấy hai điểm phân biệt $R,\,S$ sao cho $(DER)$ và $(DES)$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$. giả sử $(ADE)$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $A$. Gọi $(O')$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $RSM$.

Chứng minh rằng đường tròn $(O')$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $RSM$.
Chứng minh rằng điểm $O'$ luôn di động trên một đường thẳng cố định khi $(J)$ thay đổi.

$\boxed{8}$ [Hà Nội] Cho hai đường tròn $(O)$ và $\left( {O'} \right)$ cắt nhau tại $A,\,B$. Qua $A$ kẻ hai đường thẳng $A_1$ và $A_2$, đường thẳng $A_1$ cắt hai đường tròn $(O)$ và $\left( {O'} \right)$ lần lượt tại $C$ và $D$;đường thẳng $A_2$ cắt hai đường tròn $(O)$ và $\left( {O'} \right)$ lần lượt tại $E$ và $F$($C,\,D,\,E,\,F$ khác $A$). Các đường trung trực $CD$ và $EF$ cắt nhau tại $K$. Đường thẳng $d$ thay đổi đi qua $K$ cắt đường tròn $\left( {O'} \right)$ tại $P,\,Q$. Chứng minh rằng trực tâm tam giác $APQ$ luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Sẽ update thường xuyên..

18-09-2018, 02:41 PM	#3
MATHSCOPE Administrator Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 30 Thanks: 110 Thanked 183 Times in 68 Posts	Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2018-2019-Lời giải và bình luận Các bài toán Hình Học $\boxed{1}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ $P,\,Q$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB,\,OAC$. $R$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$. Gọi $X$ là giao điểm của $RP$ và $CP$, $Y$ là giao điểm của $RC$ và $BQ$. Chứng minh rằng $\widehat{BAX} = \widehat{YAC}$. $\boxed{2}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội]Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $O$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$; $M,\,N$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $BI$ và $CI$ và đường tròn $O$. Đường thẳng $BI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNF$ tại điểm thứ hai $P$, đường thẳng $CI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ tại điểm thứ hai $Q$. Chứng minh rằng tứ giác $EFBQ$ nội tiếp một đường tròn. Qua $I$ kẻ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $BC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $EFBQ$ nằm trên $\Delta$. $\boxed{3}$ [Lạng Sơn] Cho hình chữ nhật $ABCD$, nội tiếp đường tròn $O$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm các cung nhỏ $BC,\,AD$. Gọi $I,\,J$ lần lượt là trung điểm $OM,\,ON$. Gọi $K$ là điểm dối xứng với $O$ qua $M$. Chứng minh răng tứ giác $BJDK$ nội tiếp đường tròn Gọi $P,\,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $AB,\,AC$. Chứng minh rằng $AK\bot PQ$. $\boxed{4}$ [Quảng Bình] Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $D,\,E,\,F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ($I$) nội tiếp tam giác $ABC$ với các cạnh $AB,\,BC,\,AC$, đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $CI,\,BI,\,AM$ lần lượt tại $X,\,Y,\,N$. Chứng minuh rằng Giả sử $BC$ cố định và $A$ thay đổi trong mặt phẳng sao cho $\widehat{BAC}=\alpha,\;\ 0 < \alpha< 180^o$. Chứng minh độ dài đoạn $XY$ không đổi. Giả sử tam giác $ABC$ không cân, chứng minh rằng ba điểm $N,\,I,\,D$ thẳng hàng và $\dfrac{{NX}}{{NY}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}$. $\boxed{5}$ [Quảng Bình] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân, ($AB<AC$) có $H$ là trực tâm, nội tiếp đường tròn $(O)$ $BE,\,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$ $(E\in AC,\,F\in AB )$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$, đường thẳng $AG$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M$. Gọi $T$ trung điểm $BC$, chứng minh rằng $GH\bot AT$. Lấy điểm $P$ nào đó trên tia $BC$ ($P$ nằm ngoài đoạn $PC$). Đường tròn $(O)$ cắt $AP$ tại $I$ và cắt đường tròn đường kính $AP$ tại $Q$ ($I,\,Q$ đều khác $A$) $AQ$ cắt $BC$ tại $J$. Chứng minh rằng đường thẳng $IJ$ luôn đi qua một điểm cố định. $\boxed{6}$ [Sài Gòn] Cho $AB$ là một dây cố định khác đường kính của đường tròn $(O)$ cố định. Gọi $M$ là trung điểm của cung nhỏ $AB$. Xét đường tròn $\left(O' \right)$ thay đổi tiếp xúc $(O)$ tại một điểm thuộc cung lớn $AB$ ($\left(O' \right)$ khác phía đối với $M$ so với đường thẳng $AB$). Các đường thẳng qua $M$ vuông góc với $O'A$ và $O'B$ cắt $AB$ tại các điểm $C,\,D$. Chứng minh rằng $AB=2CD$. Gọi $T$ là một điểm thuộc $O'$ sao cho góc $ATB=90^o$. Giả sử tiếp tuyến của $\left(O' \right)$ tại $T$ cắt đoạn $AB$ tại $N$ và đường thẳng $MN$ cắt $\left(O\right)$ tại $K$ khác $M$. Vẽ đường tròn $M,\,K$ tiếp xúc ngoài với $\left(O' \right)$ tại $S$. Chứng minh rằng $S$ luôn di chuyển trên một đường tròn cố định khi $\left(O' \right)$ thay đổi. $\boxed{7}$ [Sài Gòn] Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân và nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(J)$ thay đổi đi qua $B,\,C$ và cắt các đoạn $AB,\,AC$ lần lượt tại $D,\,E$. Trên đường thẳng $BC$ lấy hai điểm phân biệt $R,\,S$ sao cho $(DER)$ và $(DES)$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$. giả sử $(ADE)$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $A$. Gọi $(O')$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $RSM$. Chứng minh rằng đường tròn $(O')$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $RSM$. Chứng minh rằng điểm $O'$ luôn di động trên một đường thẳng cố định khi $(J)$ thay đổi. $\boxed{8}$ [Hà Nội] Cho hai đường tròn $(O)$ và $\left( {O'} \right)$ cắt nhau tại $A,\,B$. Qua $A$ kẻ hai đường thẳng $A_1$ và $A_2$, đường thẳng $A_1$ cắt hai đường tròn $(O)$ và $\left( {O'} \right)$ lần lượt tại $C$ và $D$;đường thẳng $A_2$ cắt hai đường tròn $(O)$ và $\left( {O'} \right)$ lần lượt tại $E$ và $F$($C,\,D,\,E,\,F$ khác $A$). Các đường trung trực $CD$ và $EF$ cắt nhau tại $K$. Đường thẳng $d$ thay đổi đi qua $K$ cắt đường tròn $\left( {O'} \right)$ tại $P,\,Q$. Chứng minh rằng trực tâm tam giác $APQ$ luôn nằm trên một đường tròn cố định. *Sẽ update thường xuyên..*