Trích:
Nguyên văn bởi kid3494  Các bạn giúp mình bài tập này :
Cho $\left\{\begin{matrix}
x, y, z > 1 & \\
x + y + z = xyz &
\end{matrix}\right. $
Tìm min $\frac{x - 2}{y^{2}} + \frac{y - 2}{z^{2}} + \frac{z - 2}{x^{2}} $ |
Đặt P là bt ở đề bài.Ta có $P=\sum (\frac{x-2}{y^2}+\frac{1}{y})-\sum (\frac{1}{y})=\sum (\frac{(x-1)+(y-1)}{y^2})-\sum \frac{x+y+z}{xyz} $
Suy ra $P=\sum (x-1)(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2})-\frac{x+y+z}{xyz}\geq \sum \frac{2(x-1)}{xy}-\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}-2 $
Mà $(xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)=3(xyz)^2 $ nên $\frac{xy+yz+zx}{xyz}\geq \sqrt 3 $.
Vậy $P\geq \sqrt3-2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]