Trích:
Nguyên văn bởi kedaumat  Bài 2: Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 1;3 \right ] $ và $x+y+2z=6 $.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : $P=x^3+y^3+5z^3 $ Đây là một bài toán trong đề khảo sát các giáo viên tỉnh Vĩnh Phúc nhưng đáp án không được tự nhiên và hình như có một cách làm bằng hàm số |
Từ giả thiết ta có: $4xy=4(3-z)^2-(x-y)^2 \le 4(3-z)^2 \Rightarrow xy \le (3-z)^2$.
Ta lại có: $(x-1)(y-1) \geq 0 \Rightarrow xy \geq x+y-1 = 5-2z \Rightarrow 5-2z \le xy \le (3-z)^2$.
Mặt khác ta có: $2z=6-x-y \le 4 \Rightarrow z \in[1;2]$.
Ta có: $P=(x+y)[(x+y)^2-3xy]+5z^3=2(3-z)[4(3-z)^2-3xy]+5z^3$
Vì $5-2z \le xy \le (3-z)^2 \Rightarrow 2(3-z)^3+5z^3 \le P \le 2(3-z)[4(3-z)^2+6z-15]+5z^3$, với $z \in[1;2]$.
$\Leftrightarrow 2(3-z)^3+5z^3 \le P \le -3z^3+60z^2-150z+126$, với $z\in[1;2]$
Đặt $f(z)=2(3-z)^3+5z^3 , g(z)=-3z^3+60z^2-150z+126$.
Xét hàm số $f(z), g(z)$ trên $\in[1;2]$ ta có $Min f(z)=210-60 \sqrt{10}$ tại $z=-2+ \sqrt{10} \Rightarrow x=y=5- \sqrt{10}$ và
$Max g(z)=42$ tại $z=2 \Rightarrow x=y=1$.
Vậy $MaxP=42$ khi $x=y=1, z=2$.
$MinP=210-60 \sqrt{10}$ khi $x=y=5- \sqrt{10}, z=-2+ \sqrt{10}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]