Xem bài viết đơn
Old 17-07-2018, 10:31 PM   #3
vankhuekt
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2018
Bài gởi: 5
Thanks: 0
Thanked 3 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi taikhoan2002 View Post
Bài 1: Cho 2004 số nguyên không âm $a_{1},a_{2},...,a_{2004}$ thỏa mãn: $a_{1}^n+a_{2}^n+...+a_{2004}^n$ là số chính phương với mọi $n\in{N}$. Tìm số số hạng nhỏ nhất bằng 0
Giả sử $k$ là số các số khác $0$, trước tiên ta có bổ đề là: "Với $a$ là một số nguyên không là số chính phương, khi đó tồn tại vô số số nguyên tố $p$ sao cho $a$ là một bất thặng dư bậc hai theo mod $p$.".

Chọn $p$ là một số nguyên tố lớn hơn $\mathop {\max }\limits_{1 \le i \le 2004} \left\{ {\left| {{a_i}} \right|} \right\}$, theo định lý Fermat nhỏ ta có\[a_1^{p - 1} + a_2^{p - 1} + \ldots + a_{2004}^{p - 1} \equiv k\pmod p.\]Từ bổ đề và giả thiết, ta có ngay $k$ là số chính phương. Từ đấy có $k\le 44$, và do đó kết quả cần tìm là 68.

PS. Bổ đề kia xem chứng minh ở http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=45648
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
vankhuekt is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to vankhuekt For This Useful Post:
taikhoan2002 (18-07-2018)
 
[page compression: 8.57 k/9.63 k (10.99%)]