Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

tson1997 · 10-11-2012, 11:09 PM

Cách khác bài II:
Trước hết,ta biến đổi P về dạng:

$8P = \frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a^2+b^2+c^2)}{a^2b^2c^2}$

Bây giờ ta sẽ cmr:
$$ (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a^2+b^2+c^2) \le 9a^2b^2c^2 $$ (1)

Thật vậy,nếu $$ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le 0 $$ đương nhiên bđt trên đúng
Nếu $$ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) > 0 $$ ta thấy rằng 3 số a+b-c;b+c-a;c+a-b không thể có đồng thời 2 số âm.Vì thế,ta có thể quy bài toán về cminh bđt đúng với 3 cạnh 1 tam giác.

Ta xét tam giác ABC với bán kính ngoại tiếp R;a=BC;b=CA;c=AB.Ta có :

$$9R^2 \ge a^2+b^2+c^2$$ (hệ quả của công thức tính OG^2 )

hay $$\frac{9a^2b^2c^2}{16S^2} \ge (a^2+b^2+c^2)$$
hay $$9a^2b^2c^2 \ge (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a^2+b^2+c^2)$$

Vậy ta có (1) đc cminh.
Suy ra $$8P \le \frac{9}{6} =\frac{3}{2} $$
hay $$ P \le \frac{3}{16} $$

10-11-2012, 11:09 PM	#14
tson1997 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2012 Đến từ: K46 T1 chuyên SP Bài gởi: 46 Thanks: 42 Thanked 51 Times in 24 Posts	Cách khác bài II: Trước hết,ta biến đổi P về dạng: $8P = \frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a^2+b^2+c^2)}{a^2b^2c^2}$ Bây giờ ta sẽ cmr: $$ (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a^2+b^2+c^2) \le 9a^2b^2c^2 $$ (1) Thật vậy,nếu $$ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le 0 $$ đương nhiên bđt trên đúng Nếu $$ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) > 0 $$ ta thấy rằng 3 số a+b-c;b+c-a;c+a-b không thể có đồng thời 2 số âm.Vì thế,ta có thể quy bài toán về cminh bđt đúng với 3 cạnh 1 tam giác. Ta xét tam giác ABC với bán kính ngoại tiếp R;a=BC;b=CA;c=AB.Ta có : $$9R^2 \ge a^2+b^2+c^2$$ (hệ quả của công thức tính OG^2 ) hay $$\frac{9a^2b^2c^2}{16S^2} \ge (a^2+b^2+c^2)$$ hay $$9a^2b^2c^2 \ge (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a^2+b^2+c^2)$$ Vậy ta có (1) đc cminh. Suy ra $$8P \le \frac{9}{6} =\frac{3}{2} $$ hay $$ P \le \frac{3}{16} $$