[Fool's theorem]

Em có cách này chắc khá giống cách anh Traum nhưng vẫn post lên để mọi người xem có thiếu gì không( vì thấy có vẻ dễ nghĩ hơn và không xét chẵn lẻ).
Xét đường thẳng đi qua 2 trong số $2N+1 $ điểm sao cho tất cả $2N-1 $ điểm còn lại thuộc cùng một nửa mặt phẳng.
Theo giả thiết quy nạp thì $2N-1 $ điểm còn lại đã được chia thỏa mãn bằng $N-1 $ đường thẳng.
Xét các trường hợp:
TH1: 2 điểm thuộc đường thẳng thuộc 2 miền khác nhau khi chia bởi $N-1 $ đường thẳng kia
a) 2 điểm cùng màu, thì điểm mà nằm trong miền khác màu với nó thì ta luôn kẻ được 1 đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 nửa mặt phẳng mà một nửa mặt phẳng chứa điểm khác màu kia và một nửa chứa $2N $ điểm còn lại, đây chính là đường thẳng thứ $N $ chia các điểm theo đúng yêu cầu
b) 2 điểm khác màu mà cả hai đều nằm trong miền khác màu với chúng. Ta vẽ thêm đường thẳng song song với đường thẳng đi qua 2 điểm này và chia mặt phẳng thành 2 nửa, một nửa chứa 2 điểm, 1 nửa chưa $2N-1 $ điểm.
TH2: 2 điểm thuộc đường thẳng đều thuộc cùng 1 miền
a) 2 điểm cùng màu, khác màu với miền chứa chúng, ta làm như TH 1b
b) 2 điểm khác màu, ta làm như TH 1a với điểm khác màu với miền trong 2 điểm đó

Các trường hợp còn lại đều thỏa mãn với $N-1 $đường thẳng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]