Trích:
Nguyên văn bởi Traum  Bài 12(khó). Cho 2013 số thực khác nhau nằm trong đoạn [1, 2] có tổng là S. Một cách phân hoạch 2013 số đó vào hai tập rời nhau A và B được gọi là tốt nếu tổng các số trong A và tổng các số trong B có hiệu không quá S/2013. Chứng minh rằng:
a. Với mọi cách phân hoạch tốt thì $671\le |A|, |B|\le 1342 $. |
Em giải câu a trước
Câu b thì xác định rồi
Gọi $S(A)$ và $S(B)$ là tổng các phần tử trong tập hợp $A$ và tập hợp $B$
Giả sử $|A|<|B|$
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng
Giả sử tồn tại một cách phân hoạch đẹp sao cho $|A| \leq 670$
Ta có $S(B) \geq S(A)$
Vì đây là một phân hoạch đẹp nên ta có:
$S(B)-S(A) \leq \frac{S}{2013}$
$\Leftrightarrow S(B)<\frac{1007}{1006}S(A)$
Mặt khác, $VT \geq 1343$, $VP \leq 1342$ (Mâu thuẫn)
Suy ra đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]