Trích:
| Nguyên văn bởi ;210128 Bài 1.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
$$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+ c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$
|
Ta có thể làm triệt để phần chặt hơn của cấu hình này
Chứng minh $k=k_0=3\sqrt{3}-4$ là hằng số nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c>0:$
$$3k(ab+bc+ca)+3 \sqrt{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)} \le (k+1)(a+b+c)^2.$$
Khi $k=\sqrt{3}>k_0$ ta có hệ quả
$$\dfrac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b +c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \dfrac{a+b+c}{3}.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]