[trungthu10t]

Nguyên văn bởi trungthu10t

Bài 7: Cho $x,y,z\in \left[ -1;1 \right] $ và thỏa mãn$xy+yz+zx=0 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P={{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y-2z $

Ủng hộ em 1 bài.

Ta có thể giải quyết bài toán bằng phương thức đạo hàm như sau:

$\bullet$ Với $y=z=0\Rightarrow P=4x$
Vậy với $x\in [-1;1] \Rightarrow P\ge P(-1)=-4$

$\bullet$ Với $y,z\ne 0$
Từ điều kiện $xy+yz+zx=0\Rightarrow x=\dfrac{-yz}{y+z}$
Thế vào $P$ ta được : $$P=y^2+z^2-2y-2z-\dfrac{4yz}{y+z}$$Ta có : $$P'(y)=2y-2-\dfrac{4z^2}{(y+z)^2}<0\qquad \forall x,y,z \in [-1;1]$$Vậy hàm số $P=y^2+z^2-2y-2z-\dfrac{4yz}{y+z}$ nghịch biến trên đoạn $[-1;1]$
Do đó $P(y)\ge P(1)=z^2-2z-1-\dfrac{4z}{1+z}=g(z)$

$\bullet $ Tương tự ta xét hàm số : $g(z)=z^2-2z-1-\dfrac{4z}{1+z} $
Có :

$g'(z)=2z-2-\dfrac{4z^2}{(1+z)^2}<0\qquad \forall x,y,z \in [-1;1]$

Do đó : $g(z)$ là hàm số nghịch biến trên $[-1;1] $
Vậy $g(z)\ge g(1)=-4$
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $P=-4$ đạt được khi $\begin{cases} y=z=1\\ x=-\dfrac{1}{2} \end{cases} $ hoặc $\begin{cases} y=z=0 \\ x=-1\end{cases}\blacksquare$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]