Trích:
Nguyên văn bởi huonghoai Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^3+4x=y^2.$ |
Trước tiên ta cần có bổ đề sau:
Bổ đề. Hễ phương trình $x^2+y^2=z^2$ có bộ nghiệm nguyên dương $\left(\mathfrak x;\,\mathfrak y;\,\mathfrak z\right)$ thì $2\mathfrak x\mathfrak y$ không là số chính phương. Chứng minh. Giả sử phương trình đó có bộ nghiệm nguyên dương $\left(\mathfrak x;\,\mathfrak y;\,\mathfrak z\right)$ với $2\mathfrak x\mathfrak y$ là số chính phương, gọi $\left(a;\,b;\,c\right)$ là bộ nghiệm như thế với $c$ nhỏ nhất. Do tính thuần nhất của phương trình nên
\[\gcd \left( {a;\,b} \right) = \gcd \left( {b;\,c} \right) = \gcd \left( {c;\,a} \right) = 1.\]
Từ cấu trúc nghiệm của phương trình Pythagoras, sẽ tồn tại các số nguyên dương $\alpha$ và $\beta$ trái tính chẵn lẻ, với $\gcd\left(\alpha ;\,\beta\right)=1$ thỏa\[a = 2\alpha \beta ;\;b = {\alpha ^2} - {\beta ^2};\;c = {\alpha ^2} + {\beta ^2}.\]Lúc đó $2ab = 4\alpha \beta \left( {{\alpha } + {\beta }} \right)\left( {{\alpha } - {\beta }} \right)$ là số chính phương và bốn số $\alpha ;\,\beta ;\,\alpha + \beta ;\,\alpha - \beta $ đôi một nguyên tố cùng nhau, nên tồn tại các số nguyên dương $\alpha_0;\,\beta_0;\,\gamma_0$ và $\lambda_0$ thỏa\[\alpha = \alpha _0^2;\;\beta = \beta _0^2;\;{\alpha} + {\beta } = \gamma _0^2;\;{\alpha} - {\beta } = \lambda _0^2.\]Để ý rằng $\gcd\left(\gamma_0+\lambda_0;\,\gamma_0-\lambda_0\right)=2$ và\[2\beta=2\beta_0^2 = \gamma _0^2 - \lambda _0^2 = \left( {{\gamma _0} + {\lambda _0}} \right)\left( {{\gamma _0} - {\lambda _0}} \right).\]Nên một trong hai số ${{\gamma _0} - {\lambda _0}} $ và ${{\gamma _0} + {\lambda _0}} $ có dạng $2r^2$ số còn lại có dạng $4s^2$ với $r;\,s\in\mathbb Z^+$, từ đó\[\alpha = \alpha _0^2 = \frac{{\gamma _0^2 + \lambda _0^2}}{2} = \frac{{{{\left( {{\gamma _0} - {\lambda _0}} \right)}^2} + {{\left( {{\gamma _0} + {\lambda _0}} \right)}^2}}}{4} = {r^4} + 4{s^4}.\]Tức là bộ $(x;\,y;\,z)=\left(r^2;\,2s^2;\,\alpha_0\right)$ thỏa phương trình $x^2+y^2=z^2$ và $2xy=(2rs)^2$ là một số chính phương. Có điều, bộ nghiệm này đã vi phạm vai trò của bộ $(a;\,b;\,c)$ do là \[{\alpha _0} \le \alpha _0^2 = \alpha < {\alpha ^2} + {\beta ^2} = c.\]
Vậy bổ đề đã được chứng minh xong, ta quay lại bài toán và xét các trường hợp sau:
- Nếu $x=0$, ta có $y=0$ thỏa tức là có cặp $(0;\,0)$ là nghiệm.
- Nếu $x$ lẻ, thì $\gcd\left(x;\,x^2+4\right)=1$ nên tồn tại $u;\,v\in\mathbb N$ sao cho $x=u^2$ và $x^2+4=v^2$, từ đó
\[\left( {v - {u^2}} \right)\left( {v + {u^2}} \right) = 4.\]
Để ý rằng $u$ lẻ nên kéo theo $v$ lẻ và do $4$ có phân tích duy nhất thành tích hai số tự nhiên chẵn nên
\[v - {u^2} = v + {u^2} = 2.\]
Ta có $u=0$ và loại bỏ trong tình huống này.
- Nếu $x$ chẵn và $x> 0$, đặt $x=2l$ với $l\in\mathbb Z^+$ khi đó $y$ chẵn nên $y=2m$ với $m\in\mathbb Z^+$ và có
\[2\left( {{l^2} + 1} \right)l = {m^2}.\]
Từ đây $m$ chẵn nên $m=2n$ và ta có
\[\left( {{l^2} + 1} \right)l = 2{n^2}.\]
Bởi vì $l^2<l^2+1<(l+1)^2$ với $l\in\mathbb Z^+$ nên $l^2+1$ không thể là số chính phương, do đó tồn tại các số nguyên dương $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ thỏa\[l = {\mathfrak{a}^2};\;{l^2} + 1 = 2{\mathfrak{b}^2}.\]
Ta thấy rằng $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ lẻ và từ trên sẽ có\[{\left( {\frac{{{\mathfrak{a}^4} - 1}}{2}} \right)^2} + {\mathfrak{a}^4} = \left( {\frac{{{\mathfrak{a}^4} + 1}}{2}} \right)^2 =\left( {\frac{{{l^2} + 1}}{2}} \right)^2 = {\mathfrak{b}^4}.\]
Bây giờ nếu $\mathfrak{a}>1$ thì phương trình $x^2+y^2=z^2$ có bộ nghiệm nguyên dương $\left( x;\, y;\, z\right) = \left( {2{\mathfrak{a}^2}{\mathfrak{b}^2};\,{\mathfrak{b} ^4} - {\mathfrak{a}^4};\,{\mathfrak{a}^4} + {\mathfrak{b}^4}} \right)$ với
\[2xy = 4{\mathfrak{a}^2}{\mathfrak{b}^2}\left( {{\mathfrak{b}^4} - {\mathfrak{a}^4}} \right) = {\left( {\mathfrak{a}\mathfrak{b}\left( {{\mathfrak{a}^4} - 1} \right)} \right)^2}.\]
Điều đó, mâu thuẫn với bổ đề ở trên kia. Vậy $\mathfrak a=1$ tức $l=1$ và $x=2$, và trường hợp này vì thế chỉ cho ta thêm hai cặp nghiệm đó là $(x;\,y)=(2;\,4)$ và $(x;\,y)=(2;\,-4)$.
Tóm lại, ta có các cặp nghiệm $(x;\,y)$ là $(0;\,0),\,(2;\,-4)$ và $(2;\,4)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]