[G-Dragon]

[QUOTE=vthiep94;95904]Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp (I) theo thứ tự tiếp xúc với BC,AC,AB tại D,E,F. Đường thẳng DI cắt EF tại N. Chứng minh A,N,M (trung điểm BC) thẳng hàng.
Mong các bạn cho mình lời giải bằng hình học thuần túy. Cảm ơn[/QUOTE]

Nhận xét:
tam giác $ABC, D $ nằm trên $BC $ thì tỉ số

$\frac{BD}{CD}=\frac{S[ABD]}{S[ACD]}=\frac{AD.AB\sin \widehat{BAD}}{AD.AC\sin \widehat{CAD}}=\frac{\sin \widehat{ACB}.\sin\widehat{BAD}}{\sin \widehat{ABC}.\sin\widehat{CAD} } $

(theo công thức tính diện tích và định lí sin)

*Chú ý trường hợp tam giác cân thì tỷ số 2 cạnh bằng tỷ số sin 2 góc đối diện.


Như vậy áp dụng nó cho tam giác cân $IEF $ ta tính được tỷ lệ $NF:NE $ chính bằng $\sin B: \sin C $ ( để ý 2 tứ giác nội tiếp)

suy ra $\frac{\sin \widehat{FAN}}{\sin \widehat{EAN}}=\frac{\sin B}{\sin C} $ ( AEF cân)

mà $\widehat{FAN}=\widehat{BAM},\widehat{NAE}=\widehat {MAC} $

áp dụng bổ để lần cuối thì ta được $\frac{MB}{MC}=1 $


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]