Trích:
Nguyên văn bởi Mrnhan  Nếu biến đổi Fourier là
$$\Im\left \{ f(t) \right \}\left ( \omega \right )=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt$$
Thế thì tại sao lại có kết quả như thế này
$$\Im\left \{ \frac{1}{a^2+t^2} \right \}=\frac{\pi}{a}e^{-a|\omega|},\,\, a>0$$
Em làm lại không ra kết quả như thế. Cụ thể
$$\Im\left \{ \frac{1}{a^2+t^2} \right \}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-i\omega t}}{a^2+t^2}dt=2\pi i \text{Res}\left \{ \frac{e^{-i\omega t}}{a^2+t^2}, ia \right \}=\frac{\pi}{a}e^{a\omega}$$ |
Kết quả của bạn chắc chắn là không đúng rồi vì hàm để tính phép biến đổi Fourier của bạn là hàm chẵn nên phép biến đổi Fourier cũng phải là hàm chẵn. Lý do là tích phân trên nửa đường tròn trên chưa chắc hội tụ đến $0$ khi bán kính ra vô cùng nếu $\omega >0$. Cách làm của bạn chỉ đúng khi $\omega < 0$. Nếu $\omega > 0$, bạn nên chọn nửa đường tròn dưới, khi đó sẽ tính thặng dư tại điểm $-i a$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]