C/ KHÁM PHÁ ỨNG DỤNG CỦA CỰC VÀ ĐỐI CỰC! Những bài toán dưới đây đều là những bài toán hay và đa phần chúng có thể giải bằng phương pháp khác ,tuy nhiên những lời giải được chọn tất nhiên sẽ thể hiện ý tưởng của bài viết.Chúc các bạn sẽ có nhiều niềm vui khi theo dõi nó ! I/BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÀ SONG SONG GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG: Định lí 2 chính là "chủ tướng" của những ý tưởng để giải quyết các bài toán ở mục này.!!
Chúng ta hãy đến với bài toán sau: Bài toán 1:Giả sử đường tròn(O) với tâm O và bán kính R.Qua M vẽ hai dây cung CD và
EF không đi qua tâm O.Hai tiếp tuyến tại C,D của (O) cắt nhau tại A,hai tiếp tuyến tại
E,F của (O) cắt nhau tại B.Chứng minh rằng OM và AB vuông góc với nhau.
(T7/362 Tạp chí toán học và tuổi trẻ ) Giải: 
Ta xét cực và đối cực đối với (O).
Ta thấy đường đối cực của A là CD đi qua M nên đường đối cực của M sẽ đi qua A (định lí 3)(1)
Tương tự có đường đối cực của M đi qua B (2)
Từ (1) và (2) suy ra đường đối cực của M chính là AB
Đến đây theo định lí 2 ta có điều phải chứng minh!
Tiếp theo là một định lí rất nổi tiếng của hình học phẳng cùng cách chứng minh vô
cùng ngắn gọn dựa trên cực và đối cực!! Bài toán 2 (Định lí Brokard) :Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Giả sử AC cắt BD ở M, AB cắt CD ở N, AD cắt BC ở P.Chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác MNP.
Giải 
Xét cực và đối cực đối với (O).
Ta thấy PM là đường đối cực của N nên theo định lí 2 có ON vuôn góc với PM (1)
Tương tự có : OM vuông góc với PN (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh!
Và có một ví dụ ý nghĩa nữa mà các bạn nên suy nghĩ trước khi đọc lời giải: Bài toán 3:Cho tam giác ABC cân tại A.Hai đường thẳng d1,d2 bất kì qua A. Các đường thẳng qua B,C tương ứng vuông góc với d1,d2 cắt nhau tại D. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt d1 tại E.Đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt d2 tại F. Chứng minh rằng AD vuông góc với EF
(Bài tập 5.12 trong [3]) Giải Bạn có thấy xuất hiện đường tròn nào ở đề toán không? Rõ ràng là không nhỉ?
Đúng là bài toán không có đường tròn trong đề nhưng xuất hiện một "yếu tố tròn" đáng
quan tâm là AB=AC ,để từ đó "đường tròn có ích "xuất hiện: Đường tròn tâm A bán kính
AB.(gọi tắt là (A) ).
Xét cực và đối cực đối với (A)
Ta thêm một số kí hiệu:
d3 là đường thẳng qua B và vuông góc với d1
d4 là đường thẳng qua C và vuông góc với d2
Dễ nhận thấy BE,CF là các tiếp tuyến của (A).
Nhận thấy : Đường đối cực của E sẽ đi qua B và vuông góc với AE , hay chính là d3
Tương tự đường đối cực của F sẽ là d4
Chú ý đến định lí 3 ta sẽ có cực của EF chính là D, do vậy theo định lí 2 thì bài toán được giải quyết.!
Tiếp đến là 3 bài toán có mức độ cao hơn một chút: Bài toán 4:Cho tam giác ABC với các đường cao BB',CC'.Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AC,AB. EF cắt B'C' ở K. Chứng minh rằng AK vuông góc với đường thẳng Euler
của tam giác ABC
Giải 
Ta sẽ xét cực và đối cực đối với đường tròn Euler của tam giác ABC ( kí hiệu là (S) với S là tâm)
Gọi I là giao điểm của FB' và EC',G là giao điểm của CF và BE,H là giao điểm của BB' và CC'
Sử dụng định lí Pappus cho hai bộ 3 điểm (F,C',B) và (E,B',C) ta suy ra H,G,I thẳng hàng, do đó SI chính là đường thằng Euler của tam giác ABC.(1)
Mặt khác ,chú ý E,F,B',C' cùng nằm trên (S) thì suy ra AK chính là đường đối cực của I,đến đây dùng định lí 2 ta có SI vuông góc với AK.(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.
Bình luận:Như các bạn đã biết H và O là hai điểm đẳng giác và như vậy bài toán sau xuất hiện:
Bài toán 4.1Gọi hai điểm P,Q là hai điểm đẳng giác đối với tam giác ABC.Kẻ PH,PK lần lượt vuông góc với AB,AC ;kẻ QM,QN lần lượt vuông góc với AB,AC.Giả sử HK cắt MN ở S.Khi đó AS có vuông góc với PQ hay không?
Thật tuyệt vời là chúng vẫn vuông góc với nhau!!! Tuy nhiên bạn cũng sẽ dễ dàng cảm nhận được nếu làm hoàn toàn tương tự trong bài 4 thì không "trảm" được bài này,nói rõ ràng hơn là định lí Pappus đã bị rơi vào thế yếu,chúng ta vẫn dùng được ý tưởng của cực và đối cực nhưng cần một công cụ khác hữu ích hơn khi chứng minh tính thẳng hàng.Các bạn thử suy nghĩ xem và vấn đề sẽ được giải quyết trong một bài viết tới của tác giả................
Bài toán 5: (Hoàng Quốc Khánh) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R).Các phân giác trong BE,CF cắt lại (O) lần lượt ở M,N .Đường thẳng qua M vuông góc với BM cắt đường thẳng qua N vuông góc với CN tại S. Chứng minh rằng SO vuông góc với EF.
Giải: 
Xét cực và đối cực với (O)
Ta sẽ xác định đường đối cực của S , rồi chứng minh nó song song với EF
SN,SM cắt lại (O) lần lượt ở L,G
Chú ý rằng ta có C,O,G thẳng hàng;B,O,L thẳng hàng.
Tiếp tuyến của (O) tại G,N cắt nhau ở Q
Tiếp tuyến của (O) ở L,M cắt nhau ở P
OP cắt LM ở H , OQ cắt NG ở K.
Ta thấy
Đường đối cực của Q là GN đi qua S nên đường đối cực của S đi qua Q.(định lí 3)
Tương tự có đường đối cực của S cũng đi qua P
Do đó đường đối cực của S là PQ.
Bây giờ ta cần chứng minh PQ //EF
Chú ý rằng IE//OP,IF//OQ thế nên để có PQ//EF ta chỉ cần chứng minh $(\vec{FI}{,}\vec{FE})\equiv{(\vec{QO}{,}\vec{QP})( mod2\pi)} $
Mặt khác nhận thấy :
$\bar{OK}\bar{OQ}=OG^2=OL^2=\bar{OH}\bar{OP} $
Từ đó suy ra Q,K,H,P đồng viên nên $(\vec{QO}{,}\vec{QP})\equiv{(\vec{HK}{,}\vec{HO})( mod2\pi)} $
Suy ra ta cần có $(\vec{FI}{,}\vec{FE})\equiv{(\vec{HK}{,}\vec{HO})( mod2\pi)} $ (*)
Kẻ ID ,IV lần lượt vuông góc với AC,AB chú ý rằng :
$\frac{IE}{IF}=\frac{\frac{ID}{sinIED}}{\frac{IV}{s inIFV}}=\frac{sinIFV}{sinIED} $(vì ID=IV)$\frac{sin(A+\frac{C}{2})}{sin(A+\frac{B}{2})} $$=\frac{sin{NAC}}{sin{MAB}} $$=\frac{CM}{BM} $(theo định lý hàm sin)$=\frac{OK}{OH} $(1)(Vì OK là đường trung bình của tam giác GNC, OH là đường trung bình của tam giác LBM)
Lại có IE//OH,IF//OK nên $(\vec{IE}{,}\vec{IF})\equiv{(\vec{OH}{,}\vec{OK})( mod2\pi)} $
Từ (1) và (2) suy ra tam giác IEF đồng dạng với tam giác OKH .Do đó (*) đúng nên có điều cần chứng minh
Bình luận :Các bạn hãy suy nghĩ về bài toán sau:
Bài toán 5.1:Giả sử AD,BE,CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác nhọn
ABC.Gọi M,N lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (DE,CF) và (DF,BE)
.Chứng minh rằng đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng MN đi qua tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác BHC.
(Tạp chí toán học và tuổi trẻ) Bài toán 5 mình nghĩ ra độc lập với bài 5.1 nhưng có 1 điều khá thú vị là hai bài trên gần như tương đương!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Bài toán 6:Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (I) và nội tiếp (O).Tiếp điểm của (I) trên AB,BC,CD,DA lần lượt là M,N,P,Q.Chứng minh rằng MP vuông góc với NQ.
Giải 
Trường hợp tứ giác ABCD có ít nhất 1 cặp cạnh đối song song thì đơn giản, ta sẽ giải bài toán trong trường hợp còn lại.
Xét cực và đối cực đối với (I)
AB cắt CD ở E
AD cắt BC ở F
Ta thấy cực của MP là E ,cực của NQ là F. Để giải bài toán ta cần chứng minh IE và IF vuông góc với nhau.
Thật vậy
Chú ý IE,IF lần lượt là phân giác của $\hat{AED}{,}\hat{AFB} $
Nên gọi giao điểm của IF với AB và CD lần lượt là S,V thì ta cần chứng minh tam giác ESV cân tại E
Ta thấy
$(\vec{SE}{,}\vec{SV})\equiv{(\vec{FA}{,}\vec{FS})} +(\vec{AM}{,}\vec{AF})\equiv{(\vec{FS}{,}\vec{FB}) }+(\vec{CB}{,}\vec{CD})\equiv{(\vec{VS}{,}\vec{VE} )}(mod2\pi) $ suy ra tam giác ESV cân ở E.
Suy ra điều cần chứng minh.
Bài toán 7:Cho tam giác ABC có đường trong nội tiếp là (I).Tiếp điểm của (I) trên
BC,CA,AB lần lượt là D,E,F. AD cắt lại (I) ở M.Đường thẳng qua M vuông góc với AD
cắt EF ở N.Chứng minh rằng AN//BC.
Giải 
Xét cực và đối cực đối với (I)
Gọi P là giao điểm thứ hai của MN với (I),dễ thấy D,P,I thẳng hàng
EF cắt IP,IA lần lượt ở J,G.
Ta thấy $\bar {AM}.\bar{AD} = AE^2=\bar{AG} .\bar{AI} $suy ra M,G,I,D đồng viên.
Do đó :$(GM,GF) \equiv (GA,GF) - (GA,GM) \equiv \frac{\pi}{2} -(DI,DM) \equiv{MD,MP) -(DI,DM) \equiv (PM,PD) (mod \pi) $
Suy ra MGJP nội tiếp
Từ đó có :$\bar{NJ} .\bar{NG} =\bar{NP} .\bar{NM} =\bar{NE} .\bar{NF} $
Chú ý rằng G là trung điểm của FE nên suy ra (NJEF)=-1 (Theo Maclaurine)
Hay N thuộc đường đối cực của J (theo hệ quả 2) (1)
Mặt khác đường đối cực của A là EF đi qua J nên đường đối cực của J đi qua A (Định lí 3) (2)
Từ (1) và (2) suy ra đường đối cực của J là AN ,theo định lí (2) ta có :
IJ vuông góc với AN
Mà IJ vuông góc với BC nên suy ra điều phải chứng minh.
Bình luận: +) Có thể khái quát ý tưởng dùng cực và đối cực để chứng minh tính song song như sau: Giả sử có hai đường thẳng d,d' và đường tròn (O).Để chứng minh d//d' ta cần chứng minh tâm O nằm trên đường nối hai cực của d và d' đối với (O)(Trường hợp có một trong 2 đương đi quan tâm đường tròn xét cực và đối cực thì đơn giản hơn ).Và tất nhiên để chứng minh tính thẳng hàng liên quan tới tâm đường tròn ta có thể làm ngược lại,điều đó sẽ được bàn chi tiết hơn ở phần sau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]