Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Khám phá ứng dụng của cực và đối cực-ma29

**ma 29** · 02-01-2009, 08:12 AM

IV/LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN QUỸ TÍCH:

Phương pháp ở phần này hữu ích với những bài mà quỹ tích cần tìm có dạng thẳng . Ngược lại với phần trên, ta sẽ quy bài toán quỹ tích về bài toán chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định!
Hy vọng bạn sẽ nắm được tư tưởng binh pháp qua hai bài toán sau:

Bài toán 20:Cho đường tròn (O,R) và điểm A cố định nằm trong đường tròn. Điểm B di động trên đường tròn (O). Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn tại C. Tìm tập hợp điểm C

(Đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi toán quận 3 ,TP.Hồ Chí Minh 2001-2002 )
Giải:

a,Phần thuân: Xét cực và đối cực đối với (O).
Ta thấy đường đối cực của C là đường thẳng qua B vuông góc với OC nên AB chính là
đường đối cực của C.
Gọi d là đường đối cực của A.Dễ thấy d cố định .
Vì đường đối cực của C đi qua A nên C thuộc d
Đến đây các bạn hãy tự hạn chế tập hợp điểm lại rồi tiến hành phần đảo.

Bài toán 21:Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cố định $(O_1) ,(O_2) $ tiếp xúc nhau tại điểm M và bán kính đường tròn $(O_2) $ lớn hơn bán kính đường tròn $(O_1) $.Xét điểm A nằm
trên đường tròn $(O_2) $sao cho ba điểm $O_1,O_2,A $ không thẳng hàng .Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn $(O_1) $(B,C là tiếp điểm ).Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn $(O_2) $ tương ứng tại E và F.Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn $(O_2) $.Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định khi A di động trên đường tròn $(O_2) $sao cho ba điểm $O_1,O_2,A $ không thẳng hàng
(HSG quốc gia Việt Nam bảng A năm học 2002-2003)

Giải:

Có hai trường hợp là tiếp xúc trong hoặc ngoài với nhau.Ở đây sẽ giải khi
chúng tiếp xúc ngoài, khi tiếp xúc trong thì hoàn toàn tương tự.
AM cắt lại $(O_1) $ở G.
Tiếp tuyến của $(O_1) $tại G,M cắt nhau ở H.
Xét cực và đối cực đối với $(O_1) $
Ta thấy :
Đường đối cực của H là MG đi qua A nên đường đối cực của A sẽ đi qua H,nói cách khác B,C,H thẳng hàng.

Trong phép vị tự tâm M biến $(O_1) \to (O_2) $ thì:
$B \to E ,C \to F, G \to A $
Suy ra: $H \to D $qua phép vị tự ấy.
Do đó : D,M,H thẳng hàng.
Lại chú ý HM là tiếp tuyến chung của nên D luôn thuộc một đường cố định là
tiếp tuyến chung của $(O_1),(O_2) $

02-01-2009, 08:12 AM	#6
ma 29 +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: ĐH Kinh tế Quốc dân Bài gởi: 888 Thanks: 113 Thanked 968 Times in 210 Posts	IV/LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN QUỸ TÍCH: Phương pháp ở phần này hữu ích với những bài mà quỹ tích cần tìm có dạng thẳng . Ngược lại với phần trên, ta sẽ quy bài toán quỹ tích về bài toán chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định! Hy vọng bạn sẽ nắm được tư tưởng binh pháp qua hai bài toán sau: Bài toán 20:Cho đường tròn (O,R) và điểm A cố định nằm trong đường tròn. Điểm B di động trên đường tròn (O). Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn tại C. Tìm tập hợp điểm C (Đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi toán quận 3 ,TP.Hồ Chí Minh 2001-2002 ) *Giải:* a,Phần thuân: Xét cực và đối cực đối với (O). Ta thấy đường đối cực của C là đường thẳng qua B vuông góc với OC nên AB chính là đường đối cực của C. Gọi d là đường đối cực của A.Dễ thấy d cố định . Vì đường đối cực của C đi qua A nên C thuộc d Đến đây các bạn hãy tự hạn chế tập hợp điểm lại rồi tiến hành phần đảo. Bài toán 21:Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cố định $(O_1) ,(O_2) $ tiếp xúc nhau tại điểm M và bán kính đường tròn $(O_2) $ lớn hơn bán kính đường tròn $(O_1) $.Xét điểm A nằm trên đường tròn $(O_2) $sao cho ba điểm $O_1,O_2,A $ không thẳng hàng .Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn $(O_1) $(B,C là tiếp điểm ).Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn $(O_2) $ tương ứng tại E và F.Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn $(O_2) $.Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định khi A di động trên đường tròn $(O_2) $sao cho ba điểm $O_1,O_2,A $ không thẳng hàng (HSG quốc gia Việt Nam bảng A năm học 2002-2003) *Giải:* Có hai trường hợp là tiếp xúc trong hoặc ngoài với nhau.Ở đây sẽ giải khi chúng tiếp xúc ngoài, khi tiếp xúc trong thì hoàn toàn tương tự. AM cắt lại $(O_1) $ở G. Tiếp tuyến của $(O_1) $tại G,M cắt nhau ở H. Xét cực và đối cực đối với $(O_1) $ Ta thấy : Đường đối cực của H là MG đi qua A nên đường đối cực của A sẽ đi qua H,nói cách khác B,C,H thẳng hàng. Trong phép vị tự tâm M biến $(O_1) \to (O_2) $ thì: $B \to E ,C \to F, G \to A $ Suy ra: $H \to D $qua phép vị tự ấy. Do đó : D,M,H thẳng hàng. Lại chú ý HM là tiếp tuyến chung của nên D luôn thuộc một đường cố định là tiếp tuyến chung của $(O_1),(O_2) $ __________________ Sáng trưa chiều lo lắng biết bao điều, biết vâng lời và lắng nghe em nhiều, thế mới là con ma được thương yêu.