Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh  Bài 7(6 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f $ xác định trên tập số thực $\mathbb R $, lấy giá trị trong $\mathbb R $ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1/ $f $ là toàn ánh từ $\mathbb R $ đến $\mathbb R $;
2/ $f $ là hàm số tăng trên $\mathbb R $;
3/ $f(f(x))=f(x)+12x $ với mọi số thực $x $. |
Trước hết do $f $ là hàm tăng và $f(0)=0 $ nên ta có ngay $f(x)>0, \forall x>0; f(x)<0, \forall x<0 $
Đặt $\[{f_n}\left( x \right) = \underbrace {f\left( {f\left( {...f\left( x \right)} \right)} \right)}_{n{\rm{ lan }}f}\] $
Xét phương trình đặc trưng của dãy $f_n(x) $ ta có:
$t^2-t-12=0 $ có hai nghiệm $t_1=-3, t_2=4 $. Khi đó ta tính được:
$f_n(x)=\frac{{4x - f\left( x \right)}}{7}{\left( { - 3} \right)^n} + \frac{{3x + f\left( x \right)}}{7}{4^n} $ (1)
Dễ thấy $f $ là đơn ánh và kết hợp với giả thiết $f $ là toàn ánh ta được $f $ là song ánh.
Do đó từ (1) ta được:
$\[{f_{ - n}}\left( x \right) = \frac{{4x - f\left( x \right)}}{7}{\left( { - 3} \right)^{ - n}} + \frac{{3x + f\left( x \right)}}{7}{4^{ - n}}\] $ (2)
Trong đó $\[{f_{ - n}}\left( x \right) = \underbrace {{f^{ - 1}}\left( {{f^{ - 1}}\left( {...{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)} \right)}_{nlan{f^{ - 1}}}\] $
Từ (1) và (2) ta được:
$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( { - 3} \right)^n}{f_{ - n}}\left( x \right) = \frac{{4x - f\left( x \right)}}{7};\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( 4 \right)^{ - n}}{f_n}\left( x \right) = \frac{{3x + f\left( x \right)}}{7}\] $
Từ đó suy ra
$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( { - 3} \right)^n}{f_{ - n}}\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( 4 \right)^{ - n}}{f_n}\left( x \right) = \frac{{4x - f\left( x \right)}}{7}.\frac{{3x + f\left( x \right)}}{7}\] $
hay suy ra $\[\lim_{n\to +\infty}\left( {{{\left( { - \frac{3}{4}} \right)}^n}{f_{ - n}}\left( x \right).{f_n}\left( x \right)} \right) = \frac{{4x - f\left( x \right)}}{7}.\frac{{3x + f\left( x \right)}}{7} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{{\left( { - \frac{3}{4}} \right)}^n}x} \right) = 0\] $
TH1. Nếu $\[\frac{{4x - f\left( x \right)}}{7} = 0;\forall x \in \mathbb{R}\] $ thì ta có ngay hàm $f(x)=4x $
TH2. Nếu tồn tại $x_0 $ sao cho $\frac{{4x - f\left( x \right)}}{7} \neq 0 $ thì ta có $f(x_0)=-3x_0 $.
Từ (1) ta được:
$\[{f_n}\left( {{x_0}} \right) = \frac{{4{x_0} - f\left( {{x_0}} \right)}}{7}{\left( { - 3} \right)^n}\] $ (3)
Kết hợp với $f(x)>0, \forall x>0; f(x)<0, \forall x<0 $
Nếu vế trái của (3) dương thì ta chọn được $n $ để vế phải âm. Nếu vế trái của (3) âm thì ta chọn được $n $ để vế phải đương vô lí. Vậy trường hợp 2 không xảy ra.
Vậy $f(x)=4x, \forall x\in \mathbb{R} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]