Bài hình ngày 2 nếu trâu bò và không quen vẽ thêm thì có thể làm như sau
Ta bỏ qua trường hợp đơn giản là tam giác $ABC$ cân.
Ta có tính chất quen thuộc của hàng điều hòa là $DA$ là phân giác góc $\widehat{DFE}$, kết hợp $AFDE$ nội tiếp suy ra $AE=AF=x$. Đặt $a=BC,b=CA,c=AB$.
Ta có: $$\begin{cases} DB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a} ; \quad DC=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} \\ AD=\dfrac{2S}{a}=\dfrac{2pr}{a} ; \quad \cot \dfrac{A}{2}=\dfrac{b+c-a}{2r} \end{cases}$$
Từ đó ta có $$\tan B + \tan C = AD \left ( \dfrac{1}{DB}+\dfrac{1}{DC} \right)=\dfrac{4pr}{a} \left ( \dfrac{a}{a^2+c^2-b^2}+\dfrac{a}{a^2+b^2-c^2} \right)$$
Suy ra $$VP=\dfrac{2a^2(b+c-a)(b+c+a)}{(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}$$
Do $AD,BE,CF$ đồng quy nên theo Ceva: $$\dfrac{DB}{DC} \ . \ \dfrac{x}{c-x} \ . \ \dfrac{b-x}{x}=1 \Rightarrow x=\dfrac{bDC-cDC}{DB-DC} \Rightarrow b-x=\dfrac{DC(c-b)}{DB-DC}$$
Dùng Menelaus cho cát tuyến $EPB$ của $\Delta ADC$:
$$\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{x}{b-x} \ . \ \dfrac{a}{BD}=2a^2 \ . \ \dfrac{b(a^2+c^2-b^2)-c(a^2+b^2-c^2)}{(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)(c-b)}=\dfrac{2a^2(b+c-a)(b+c+a)}{(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}$$
Suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]