Bài 3 (sketch): Giảm bài toán theo 2 thao tác: Nếu $p$ nguyên tố và $p^2|n$ thì $P_{n}$ chia hết cho $1+x^{r_m}$ ($m=n/p$): \[ P_{pm} =(1+X^m+\ldots +X^{m(p-1)})P_m\] Nhận thấy luôn là bước giảm này cho $P_{n}$ khả quy. Trường hợp $m=p=2$ đặc biệt, có thể chọn luôn $r_4 =2$. Bài toán từ đây đưa về $n$ không có ước chính phương. Nếu $p|n$ nguyên tố lẻ ($p^2\not |n$) và $m \ne 2$ thì $P_{n}$ chia hết cho $1+x^{r_m}$: \[ P_{pm} =(1+X^m+\ldots +X^{m(p-1)})P_m - P_m(X^p)\] So sánh bậc của $P_n$ ($n-2$) với $1+x^{r_m}$ (nhỏ hơn $m$) thì cũng có $P_n$ khả quy. Như vậy bài toán ban đầu quy về trường hợp $n=2p$ với $p$ là số nguyên tố lẻ. Trong trường hợp này, tính trực tiếp $P_n(X)= \frac{X^{2p}-1}{X-1}-X^{p-1}$, nhận thấy $r_n= \frac{p+1}{2}$. Ý (b) đưa về xét các trường hợp đặc biệt và trường hợp không thể giảm ($2p$). [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] |