Ðề tài: Cyclotomic polynomial
Xem bài viết đơn
Old 19-04-2018, 05:26 PM   #13
beyondinfinity
+Thành Viên+
 
beyondinfinity's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 456
Thanks: 64
Thanked 215 Times in 143 Posts
Key của bài đầu tiên có vẻ là $\mathbb{Q}[\varepsilon,\sqrt{p}] = \mathbb{Q}[\varepsilon]$ khi $p=4k+1$ ($\phi_p(1)=p$, ghép cặp $(1-\varepsilon^i)(1-\varepsilon^{-i})=-\frac{(1-\varepsilon^i)^2}{\varepsilon^i}$, đổi giữa $i$ và $p-i$ để được số chính phương và $(-1)^{(p-1)/2}=1$) dẫn đến mở rộng Galois chứa $\varepsilon\sqrt{p}$ có bậc nhỏ hơn hoặc bằng $p-1$, nên cơ bản sẽ xây dựng được một kiểu $(a(x)+\sqrt{p}b(x))(a(x)-\sqrt{p}b(x))$ của hai đa thức cực tiểu của $\varepsilon\sqrt{p}$ và $-\varepsilon\sqrt{p}$.
Hiện tượng này giống như $\frac{x^{2p}-1}{x^2-1}$ trong $\mathbb{Q}$ sẽ có 1 phân tích $\phi_{2p}\phi_{p}$ nhưng khi đưa vào $\mathbb{Q}[\sqrt{p}]$ với $p=4k+1$ thì lại có thêm một phân tích nữa (ví dụ $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ hay được đưa ra cho miền không UFD).
Ngoài ra có một cái khá vui nhưng mình không dùng là nhóm con các số chính phương mod $p$ của $Gal(\mathbb{Q}[\varepsilon]/\mathbb{Q})\simeq \mathbb{Z}_{p-1}$ sẽ sinh ra một mở rộng con $K$ bậc $\frac{p-1}{2}$ của $\mathbb{Q}$ và $Gal(\mathbb{Q}[\varepsilon]/K)\simeq \mathbb{Z}_2$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: beyondinfinity, 19-04-2018 lúc 05:41 PM
beyondinfinity is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 8.23 k/9.31 k (11.53%)]