[Kelacloi]

Bài 6 rất khó ưa.
Nếu chặn là $2014^2$ thì bài toán sẽ rất dễ thương, nhưng lấy chặn $1007^2$ thì khiến người ăn k ngon.

Bài này viết dưới dạng bảng có lẽ dễ nhìn hơn.

Chuyển về bảng trên bảng
Ta xây dựng bảng ô vuông có chiều dài chiều rộng tuỳ ý như sau.
Nếu $a_n=k$ thì các ô $(n,n)$ đến $(n+k-1,n)$ được điền số 1.

Ta gọi ô $(n+k-1,n)$ là ô thấp nhất của cột $n$.
Điều kiện của bài toán sẽ trở thành như sau:
i) Tổng các số trên mỗi cột lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $2015$
ii) $2$ ô thấp nhất của $2$ cột bất kì không nằm chung 1 hàng.

Chọn $N,b$

Xét đơn biến $S(n)$ là tổng các số trên hàng $n$.
Ta sẽ chứng minh được :$S(n)$ không giảm và $S(n) \le 2015$.
Bời thế tồn tại $N,b \in \mathbb{N}$ sao cho : $S(n)=b \forall n>N$. (*)

Ta chọn $N,b$ cho bất đẳng thức cần chứng minh như $N,b$ được kiếm ra ở trên.

Giải nghĩa vế trái BDT theo bảng
Với $n>m \ge N$.

Đặt :
$A$ là tổng các số từ cột $m+1$ đến cột $n$
$B$ là tổng các số từ hàng $m+1$ đến cột $n$
$C$ là tổng các số nằm trong hình chữ nhật $ (m+1,m+1) : (n,n)$

Ta có :
1)$A= \sum_{k=m+1}^n a_k$
2)$A-C$ là tổng các số nằm có cột nằm từ $(m+1)$ đến $n$ và nằm từ hàng $n+1$ trở đi.
3) $B= \sum_{k=m+1}^n b $ (do (*))
4) $B-C$ là tổng các số nằm có hàng nằm từ $(m+1)$ đến $n$ và nằm từ cột $m$ trở xuống.

BDT ta cần chứng minh thực ra là $| (A-C)-(B-C) | \le 1007^2$

Về bất đẳng thức
Giờ ta thấy ngay vầy, nếu đánh giá "nhẹ nhàng" thì ta có :
$ 0 \le A-C,B-C \le 2014^2$
bởi thế nên ta sẽ có ngay $|A-B| \le 2014^2$ mà không quá lo lắng .

Tiếc thay đề bài lại là $1007^2$.
Với $n-m \ge 2015$, ,mình tạm đánh giá bằng trung gian mà chẳng "nhẹ nhàng" để diễn đạt lắm, thì được cái sau đây:
$ \frac{b(b+1)}{2} \le B-C \le (b-1)(2015-\frac{b}{2})$
$ \frac{b(b-1)}{2} \le A-C \le b(2015-\frac{b+1}{2})$
Từ đó ta được $ -(b-1)(2015-b) \le A-B \le b(2014-b)$

Để mình ghi chi tiết cách đánh giá 1 trong các bdt phía trên:
$ A-C \le b(2015-\frac{b+1}{2})$

Ta có $S(n+1)=b$, thế nên chỉ có đúng $b$ cột trong $(m+1) \rightarrow n+1$ là có ô được điền số 1 nằm trong " cột nằm từ $(m+1)$ đến $n+1$ và từ hàng $n+1$ trở đi"
hay :
chỉ có đúng $b-1$ cột trong $(m+1) \rightarrow n$ là có ô được điền số 1 nằm trong " cột nằm từ $(m+1)$ đến $n$ và từ hàng $n+1$ trở đi" (tức $(A-C)$) (1)

Ta trích 1 bảng mới tạo bởi "cột nằm từ $(m+1)$ đến $n$" và "từ hàng $n+1$ trở đi."
Do :" $2$ ô thấp nhất của $2$ cột bất kì không nằm chung 1 hàng"
nên 2 cột bất kì trong bảng mới có tổng khác nhau. (2)

Do " $a_k \le 2015$ "
nên tổng mỗi tổng mỗi cột trong bảng mới không đều không quá $2014$.(3)

Từ (1),(2),(3), ta được:
$A-C \le 2014+(2014-1)+...(2014-b+2) < b(2015-\frac{b+1}{2})$

Đến đây thì rút được ngay kết luận.

Với $n-m \le 2014$ thì cũng thế nhưng nhìn rối mắt :v
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]