Trích:
Nguyên văn bởi Copal  Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ thỏa $f(x^2 - y) = xf(x) - f(y) $ với mọi $x,y $ thuộc $\mathbb{R} $. Em mới học về phương trình hàm giải thử bài này mọi người xem giúp em có vấn đề gì không ạ  . Cho $x = 0 $ thì $f(y) + f(-y) = 0 $ nên $f $ là hàm lẻ. Thay $x = y = 1 $ ta được $f(0) = 0 $. Thay $y = 0 $ ta có $f(x^2) = xf(x) \Leftrightarrow \frac{f(x^2)}{x^2} = \frac{f(x)}{x} $ Đặt $\frac{f(x)}{x} = g(x) $ ta có $g(x^2) = g(x) $ Do f là hàm lẻ nên ta xét $x \geq 0 $ $g(x^2) = g(x) = \ldots =g(x^{\frac{1}{2n}}) $ Cho $n \to +\infty $ ta được $g(x) = g(1) = f(1) $ Vậy: $f(x) = f(1)x $ Đặt $f(1) = a $ thì $f(x) = ax $. Thử lại thỏa đề bài |
bài này đề không cho là f liên tục nên làm như bạn là sai
mình làm như sau mọi người xem thử
cách tìm
-$f(0) = 0 $
-$f(x^2) = xf(x) $ như bạn
thay $y= x^2 $
suy ra $g(x)=g(y) $ với mọi x,y thuộc R trong đó $g(x)=xf(x) $ suy ra $g(x)=c $ mọi x
suy ra$f(x)=0 $ hoặc $f(x)=\frac{c}{x} $
thử vào ta thấy chỉ có $f(x)=0 $ mọi x thuộc R thỏa mãn.
viết vào mathtype copy vào có được cái TEX không nhỉ mọi người
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]