Trích:
Nguyên văn bởi king_math96  Cho a,b,c là các số thực dương thỏan mãn: $a^3+b^3+c^3=3. $Tìm Max của:
$A= (a^5+b^5+c^5)(abc)^{\frac{10}{3}}
$ |
Áp dụng BDT AM-GM ta có:$a^{\frac{5}{2}}b^{\frac{5}{2}}+b^{\frac{5}{2}} c^{\frac{5}{2}}+c^{\frac{5}{2}}a^{\frac{5}{2}} \ge 3\sqrt[3]{a^5b^5c^5}=3(abc)^{\frac{5}{3}} $
Suy ra:$9A=(a^5+b^5+c^5).3(abc)^{\frac{5}{3}} .3(abc)^{\frac{5}{3}} \le (a^5+b^5+c^5)(a^{\frac{5}{2}}b^{\frac{5}{2}}+ b^{\frac{5}{2}} c^{\frac{5}{2}}+c^{\frac{5}{2}}a^{\frac{5}{2}})(a^ {\frac{5}{2}}b^{\frac{5}{2}}+b^{\frac{5}{2}} c^{\frac{5}{2}}+c^{\frac{5}{2}}a^{\frac{5}{2}}) $
AM-GM cho 3 số
$\le \frac{(a^5+b^5+c^5+2a^{\frac{5}{2}}b^{\frac{5}{2}} + 2b^{\frac{5}{2}} c^{\frac{5}{2}}+2c^{\frac{5}{2}}a^{\frac{5}{2}})^3 }{27}=\frac{(a^{\frac{5}{2}}+b^{\frac{5}{2}}+ c^{\frac{5}{2}})^6}{27} $
Ta sẽ cm:$a^{\frac{5}{2}}+b^{\frac{5}{2}}+ c^{\frac{5}{2}} \le 3 $
Khi đó $\Rightarrow A \le 3 $
Áp dụng AM-GM lần nữa ta có:
$5a^3+1=a^3+a^3+a^3+a^3+a^3+1 \ge 6\sqrt[6]{a^{15}}=6a^{\frac{5}{2}} $
Tương tự với b,c .Cộng vế theo vế suy ra đpcm.
Vậy max A bằng 3.
$a=b=c=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]