[12121993]

Ta có $BC_1=CB_1=p-a $. Không mất tính tổng quát giả sử đường trung trực của $BC $ cắt (ABC) tại $O_1 $ thuộc cung BAC. Dễ thấy các tam giác $O_1BC_1 $và $O_1CB_1 $ bằng nhau (c.g.c) nên $O_1B_1=O_1C_1 $.
Theo kết quả quen thuộc $O_1A_1^2=O_1B^2-(p-b)(p-c) $ nên $O_1A_1^2-O_1B^2=\frac{(b-c)^2-a^2}{4} $
Gọi $K, L $ thứ tự là hình chiếu của $O_1 $ trên $CA, AB $. Các tam giác $O_1BL, O_1CK $ bằng nhau.
Dễ thấy $AK=AL $ nên ta có $BL=CK=\frac{b+c}{2} $
$O_1C_1^2-O_1B^2=LC_1^2-LB^2=(\frac{b+c}{2}-\frac{b+c-a}{2})^2-(\frac{b+c}{2})^2=\frac{a^2-(b+c)^2}{4} $
Đpcm tương đương $O_1 $ là tâm ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1 $ hay $O_1A_1^2=O_1C_1^2 $
Tương đương với $O_1A_1^2-O_1B^2=O_1C_1^2-O_1B^2 $
$\frac{(b-c)^2-a^2}{4}=\frac{a^2-(b+c)^2}{4} $
hay$ a^2=b^2+c^2 $.
Bài toán được chứng minh xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]